河南省南阳市2016届高三数学上学期期中质量评估试题 文

南阳市 2016 届高三上学期期中质量评估 数学(文)试题
第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的.) 1.已知集合 P={ x | x 2 ? 1},M={a},若 PUM=P,则 a 的取值范围是 A.(一 1,1) C.[1,+ ? ) B.[一 1,1] D.(一 ? ,一 1〕U〔1,+ ? )

2,设 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7 等于 A.13 B.35 C.49 D.63

3.函数了(x)在 x= x0 处导数存在,若 p: f '( x0 ) ? 0 ,q:x=x0 是 f(x)的极值点, 则 A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 4.要得到函数 g(x)= sin(2 x ?

?
6

) ,只需将 f(x)=cos 2x 的图像

? 个单位 3 ? C.左移 个单位 6
A.左移

? 个单位 3 ? D.右移 个单位 6
B.右移
x ? ?2 ? 1, x ? [0,1] ,则 2 ( x ? 2) , x ? (1, ?? ) ? ?

5.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时, f ( x) ? ? f[f(一 3)]= A、1 B.一 1

C.7

D.一 7

6.如图所示,M、N 是函数 y ? 2sin(? x ? ? )(? >0)图像与 x 轴的交点,点 P 在 M、N 之间的图像上运动,当△MPN 面积最大时 PM ?PN =0,则 ? =

???? ? ??? ?

A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.8

-1-

7.△ABC 外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ?AB = A.-

??? ?

??? ?

??? ?

?

??? ? ??? ?

1 5

B.

1 3

C一1

D.1

8·已知函数 f ( x) ? loga x(a ? 0且a ? 1) 满足 f( 解为

2 3 1 )>f( ),则 f(1 一 )>0 的 a a x

A.0<x<1 B.x<1 C.x>1 D.x>0 2 9.已知 f(x)=x +(sinθ 一 cosθ )x+sinθ (θ ? R)的图象关于 y 轴对称,则 sin2θ +cos2θ 的值为 A、

3 2

B·2



1 2

D·1

10.已知函数 y=f(x)是 R 上的减函数,且函数 y=f(x 一 1)的图象关于点 A(1,0) 2 2 对称,设动点 M(x,y),若实数 x,y 满足不等式 f(x 一 8y+24)+f(y 一 6x))≥0 恒 成立,则

??? ? ???? ? OA? OM 的取值范围是
A.(一 ? ,+ ? ) 11.已知函数 f ( x) ? ? (c),则 a+b+c 的取值范围 B.〔一 1,1] C.〔2,4] D.[3,5]

?| log3 x |, 0 ? x ? 3 ,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f 2 ? log x , x ? 3 3 ?

12. 已知 f (x) , g (x) 都是定义在 R 上的函数, 且 .若数列

, 的前 n 项和大于

62,则 n 的最小值为 A.6 B.7 C.8 D.9 第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、坟空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 13.若复数 z 满足(3 一 4i)z=|4+3i 卜则 z 的虚部为 14.函数 f(x)= 3 | log 1 x | 一 1 的零点个数为
3 x

·

15.△ABC 为等腰直角三角形,OA=1,OC 为斜边 AB 上的高,P 为线段 OC 的中点,则

??? ? ??? ? AP? OP =
16·已知数列{ an }为等差数列,若 >0
-2-

a7 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn a6

的 n 的最大值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x, cos 2 x), x ? R ,设函数 f(x)=a·b. (1)求了(x)的单调递增区间; (2)求 f(x)在 [0,

?

1 ? 2

?
2

] 上的最大值和最小值.

18.(本小题满分 12 分) 已知数列{ log2 (an ?1)(n ? N*) }为等差数列,且 a1=3,a3=9. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)证明:

19.(本小题满分 12 分) △ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 cos B ? 求 sinA 和边 c 的值. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 3x ? 1
3 2

3 6 ,sin( A ? B) ? , ac ? 2 3 , 3 9

(1) a ? ? 2 时,讨论 f(x)的单调性; (2)若 x ? [2, ??) 时, f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 直线 Ln : y=x- 2n 与圆 Cn: x ? y ? 2an ? n 交于不同的两点 An , Bn .数列{ an }
2 2

满足:

(1)求数列{ an }的通项公式,
-3-

(2)若

,求{

}的前 n 项和 Tn.

22.(本小题满分 12 分) 2 2 设函数 f(x)=ax 1n x+b(x-1)(x>0),曲线 y=f (x)过点(e,e -e+1),且在点(1, 0)处的切线方程为 y=0. (1)求 a,b 的值; 2 (2)证明:当 x≥1 时,f(x)≥(x-1) ; 2 (3)若当 x≥1 时 f (x)≥m(x-1) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

高三(文科)数学试题参考答案 一、选择题 1 B 2 C 3 C 4 D 5 B 6 A 7 A 8 C 9 D 10 C 11 B 12 A

二、填空题

13、

4 5
1 4

14、

2

15、 17.解: (Ⅰ)

15、

11

f ( x) ? a· b = cos x ? 3 sin x ?

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6

当 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

时,解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

, ……………5 分

? f ( x) ? sin( 2 x ?
(Ⅱ) 当x ? [0,

?
6

) 的单调递增区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

?
3

](k ? Z ) .
6

?
2

]时, (2 x ?

?
6

) ? [-

? 5?
6 , 6

],由标准函数y ? sin x在[-

? 5?
, 6

. ]上的图像知,

? ? ? 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
-4-

1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1,? . 2 ? 2?
分 18. 解: (1)解:设等差数列 由

……………10

{log 2 (a n ? 1)} 的公差为 d。

a1 ? 3, a3 ? 9得2(log 2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8, 即 d=1。
a n ? 2 n ? 1. …………5 分

所以 log 2 ( an ? 1) ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n, 即

1 1 1 ? n ?1 ? n n a ? an a ? 2 2 ,…………7 分 (2)证明: n ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n 2 2 2 2 所以 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2 …………12 分
19.解:在 ?ABC 中,由 cos B ?

3 6 ,得 sin B ? .因为 A ? B ? C ? ? , 3 3

所以 sin C ? sin( A ? B) ?

6 , 9

…………2 分

因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B ,可知 C 为锐角,…………4 分 所以 cos C ?

5 3 ,因此 sin A ? sin( B ? C ) 9

? sin B cos C ? cos B sin C
? 6 5 3 3 6 2 2 . ? ? ? ? 3 9 3 9 3
…………8 分

c sin A a c ? ? , 可得 a ? 由 sin A sin C sin C

2 2 c 3 ? 2 3c , 6 9
…………12 分

又 ac ? 2 3 ,所以 c ? 1 .

-5-

20.(Ⅰ)当 a ? - 2 时, f ? x ? =x3 -3 2x2 ? 3x ?1.

f ' ( x) ? 3x2 ? 6 2x ? 3 .
令 f ( x) ? 0 ,得, x1 ? 2 ? 1, x2 ?
'

…………2 分

2 ?1.

' 当 x ? (??, 2 ?1) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (??, 2 ?1) 是增函数; ' 当 x ? ( 2 ?1, 2 ? 1) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1, 2 ? 1) 是减函数;

当 x ? ( 2 ? 1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1, ??) 是增函数;…………6 分来 (Ⅱ)采用分离字母的方法

? x 3 ? 3ax 2 ? 3 x ? 1 ? 0 在 x ? ? 2, ??? 时恒成立,

? 3a ?

? x3 ? 3 x ? 1 x2

令 g( x ) ?

? x3 ? 3 x ? 1 x2
………10 分

x4 ? 3 x2 ? 2 x x3 ? 3x ? 2 ( x ? 1)2 ( x ? 2) g ( x) ? ? ?? ?? x2 x3 x3
?

当 x ? 2, ?? ? 时

?

g? ( x) ? 0 ? g ( x ) 在 x ? ? 2, ??? 单调递增,
5 15 ,? a ? ? 4 4
…………12 分

g( x )min ? g(2) ? ?
21.(1)圆心距 dn ?

n ,半径 rn ? 2an ? n ,
1 2 2 An Bn ? rn 2 ? d n ? 2an ? n ? n ? 2an …………2 分 4

? an ? 1 ?

an ? 1 ? 2,? {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,? an ? 2n?1 ………… an
4分 (2) n 为偶数时,

Tn ? (b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn?1 ) ? (b2 ? b4 ? b6 ? ... ? bn ) ? [1 ? 5 ? 7 ? ... ? (2n ? 3)] ? (2 ? 23 ? 25 ? ... ? 2n?1 ) ? n2 ? n 2(2n ? 1) ? 2 3

-6-

n 为奇数时,

(n ? 1)2 ? ( n ? 1) 2(2n?1 ? 1) n2 ? n 2n ? 2 Tn ? Tn?1 ? bn ? ? ? (2n ? 1) ? ? …10 分 2 3 2 3

n2 ? n ? 2(2n ?1) ,n为偶数 ? ? 3 Tn ? ? 22 n n ? n ? 2 ? 2,n为奇数 综上: ? 3 ? 2
22.解:(1) f ?( x) ? 2a ln x ? ax ? b ,

…………12 分

? f ?(1) ? a ? b ? 0 , f (e) ? ae 2 ? b(e ? 1) ? a (e 2 ? e ? 1) ? e 2 ? e ? 1
? a ? 1 , b ? ?1 .………………………………4 分
(2) f ( x) ? x ln x ? x ? 1 ,
2

设 g ( x) ? x ln x ? x ? x , ( x ? 1) , g ?( x) ? 2 x ln x ? x ? 1
2 2

( g ?( x))? ? 2 ln x ? 0 ,? g ?( x) 在 ?0,?? ? 上单调递增,
? g ?( x) ? g ?(1) ? 0 ,? g ( x) 在 ?0,?? ? 上单调递增,? g ( x) ? g (1) ? 0 .
? f ( x) ? ( x ? 1) 2 .………………………………8 分
(3)设 h( x) ? x ln x ? x ? m( x ? 1) ? 1 ,
2 2

h?( x) ? 2 x ln x ? x ? 2m( x ? 1) ? 1 ,
由(2) 中知 x ln x ? ( x ? 1) ? x ? 1 ? x( x ? 1) ,? x ln x ? x ? 1 ,
2 2

? h?( x) ? 3( x ? 1) ? 2m( x ? 1) ,
①当 3 ? 2m ? 0 即 m ? 成立. ②当 3 ? 2m ? 0 即 m ?

3 时,h ?( x) ? 0 , ? h( x) 在 [1, ??) 单调递增, ? h( x) ? h(1) ? 0 , 2 3 ? 时, h ( x) ? 2 x ln x ? (1 ? 2m)( x ? 1) 2
2m ?3 2

(h?( x))? ? 2 ln x ? 3 ? 2m ,令 (h? ( x ))? ? 0 ,得 x0 ? e

? 1,

当 x ? ?1, x0 ? 时, h?( x) ? h?(1) ? 0 ,? h( x) 在 ?1, x0 ? 上单调递减? h( x) ? h(1) ? 0 ,不成
-7-

立. 综上, m ?

3 .………………………………12 分 2

-8-


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