高中数学苏教版选修2-3:1.5 第1课时 二项式定理_图文

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问题 1:我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项 式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4 的展开式.
提示:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+ 6a2b2+4ab3+b4.
问题 2:上述两个等式的右侧有何特点? 提示:展开式中的项数是 n+1 项,每一项的次数为 n.

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问题 3:你能用组合的观点说明(a+b)4 是如何展开的吗? 提示:因(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).由多项式乘法 法则知,从四个 a+b 中选 a 或选 b 是任意的.若有一个选 b,则 其余三个都选 a,其方法有 C14种,式子为 C41a3b;若有两个选 b, 则其余两个选 a,其方法有 C24种,式子为 C42a2b2. 问题 4:能用类比方法写出(a+b)n(n∈N*)的展开式吗? 提示:能,(a+b)n=Cn0an+C1nan-1b+…+Cnnbn.

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1.二项式定理 公式(a+b)n= Cn0an+C1nan-1b+…+Cnr an-rbr+…+Cnnbn (n∈N*),叫做二项式定理,右边的多项式 叫做(a+b)n 的二项 展开式,它一共有 n+1 项.

2.二项展开式的通项

Crnan-rbr 叫做二项展开式的第 r+1 项(也称通项),用 Tr +1 表示,即 Tr+1= Crnan-rbr .

3.二项式系数

Crn(r=0,1,2,…,n) 叫做第 r+1 项的二项式系数.

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1.(a+b)n 中,n∈N*,a,b 为任意实数. 2.二项展开式中各项之间用“+”连接. 3.二项式系数依次为组合数 C0n,Cn1,…,Crn,…,Cnn. 4.(a+b)n 的二项展开式中,字母 a 的幂指数按降幂排列,从 第一项开始,次数由 n 逐次减 1 直到 0;字母 b 的幂指数按升幂排 列,从第一项开始,次数由 0 逐次加 1 直到 n.

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[例 1] 求下列各式的展开式: (1)(a+2b)4;(2)???2x-23x2???5. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开,对于(2)也可以先化 简再展开.

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[精解详析] (1)根据二项式定理 (a+b)n=Cn0an+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn, 得(a+2b)4=C04a4+C41a32b+C42a2(2b)2+C34a(2b)3+C44(2b)4 =a4+8a3b+24a2b2+32ab3+16b4. (2)法一:???2x-23x2???5=C05(2x)5+C15(2x)4???-23x2???+ C25(2x)3???-23x2???2+C53(2x)2???-23x2???3+C45(2x)·???-23x2???4+C55???-23x2???5 =32x5-120x2+18x0-1x345+480x57 -3224x310.

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法二:???2x-23x2???5=?43x23-x103?5=321x10[C05(4x3)5+ C15(4x3)4·(-3)+…+C45(4x3)·(-3)4+C55·(-3)5] =321x10(1 024x15-3 840x12+5 760x9-4 320x6+1 620x3-243) =32x5-120x2+18x0-1x345+480x57 -3224x310.

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[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展 开,展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂,后一个字 母是升幂.含负号的二项展开式形如(a-b)n 的展开式中会出现正 负间隔的情况.

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1.写出(1+2x)4 的展开式. 解:(1+2x)4=C04×14×(2x)0+C14×13×(2x)1+C42×12×(2x)2+ C43×11×(2x)3+C44×10×(2x)4 =1+8x+24x2+32x3+16x4.

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2.求????

x-2

1

??4
x??

的展开式.

解:法一:???? x-2 1 x????4=C40???

x -C ??4 ?

14???

x???3·2 1 x+C24(

x)2·????2

1

??
x??

2-C34 x·????2 1 x????3+C44????2 1 x????4=x2-2x+32-21x+161x2. 法二:???? x-2 1 x????4=????22x-x1????4=161x2(2x-1)4

=161x2(16x4-32x3+24x2-8x+1)

=x2-2x+32-21x+161x2.

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[例 2] 已知二项式????x2+2 1 x????10. (1)求展开式中的第 5 项; (2)求展开式中的常数项. [思路点拨] (1)直接利用通项公式求解; (2)利用通项公式 Tr+1=Crnan-rbr????a=x2,b=2 1 x????,设第 r+1 项为 常数项,令 x 的指数等于 0 即可求出 r.

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[精解详析]

(1)????x2+2

1

??10
x??

的展开式的第

5

项为

T5=C410·(x2)6·????2 1 x????4=C140·???12???4·x12·???? 1x????4=1085x10.

(2)设第 r+1 项为常数项,



Tr+1=Cr10·(x2)10-r·????2 1

??r
x??

=C1r 0·x20-52r·???12???r(r=0,1,2,…,10),

令 20-52r=0,得 r=8,所以 T9=C180·???12???8=24556,

即第 9 项为常数项,其值为24556.

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[一点通] (1)二项展开式的通项 Tr+1=Crnan-rbr 表示二项展开式中的任意 项,只要 n 与 r 确定,该项也随之确定.对于一个具体的二项式,通 项 Tr+1 依赖于 r,公式中的二项式的第一个量 a 与第二个量 b 的位置 不能随便交换,且它们的指数和一定为 n. (2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是 关于二项式定理的一类典型题型.常见的有求二项展开式中的第 r 项、常数项、含某字母的 r 次方的项等.其通常解法就是根据通项公 式确定 Tr+1 中 r 的值或取值范围以满足题设的条件.

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3.(x-2y)6 展开式中的第 4 项为________.
解析:由二项展开式的通项得,(x-2y)6 展开式中的第 4 项为 C63x6-3·(-2y)3=-160x3y3.
答案:-160x3y3

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4.二项式???x3+x12???n 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最 小值为________. 解析:二项展开式的通项是 Tr+1=Crnx3n-3rx-2r=Crnx3n-5r,令 3n -5r=0,得 n=53r(r=0,1,2,…,n),故当 r=3 时,n 有最小 值 5.
答案:5

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5.求????

x- 1 4
2

??8 x??

的展开式中的有理项.

解:????

x- 1 4
2

??8 x??

的展开式的通项为

Tr+1=C8r (

? -1 ?

x)8-r???24

?r x??

=???-12???rCr8x16-4 3r(r=0,1,2,…,8),

为使 Tr+1 为有理项,r 必须是 4 的倍数,所以 r=0,4,8,故共有

3 个有理项,分别是 T1=???-12???0C08x4=x4,

T5=???-12???4C84x=385x,T9=???-12???8C88x-2=2516x2.

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[例 3]

?
已知二项式?3
?

x-32x???10.

(1)求展开式中第 4 项的二项式系数;

(2)求展开式中第 4 项的系数.

[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第 4 项的二项式系数及第

4 项的系数.

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[精解详析]

?
?3
?

x-32x???10 的二项展开式的通项是

Tr+1=Cr10???3 x???10-r·???-32x???r(r=0,1,…,10).

(1)第 4 项的二项式系数为 C130=120.

(2)第 4 项的系数为 C13037???-23???3=-77 760.

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[一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差 异,前者只与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,它是一个 组合数 Cnr ;后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有 关.

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6.(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式中,x2 的系数等于________.
解析:x2 的系数是四个二项展开式中 4 个含 x2 的系数和,则 有-C02(-1)0+C13(-1)1-C42(-1)2+C35(-1)3=-(C20+C31+ C42+C35)=-20.
答案:-20

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7.在二项式(1-x2)20 的展开式中,第 4r 项和第 r+2 项的二项式 系数相等,则 r=________. 解析:第 4r 项与第 r+2 项的二项式系数分别为 C42r0-1和 Cr2+0 1, 由题设得 C42r0-1=Cr2+0 1. 由组合数性质得 4r-1=r+1 或 4r-1=20-(r+1). 4r-1=r+1 没有整数解. 由 4r-1=20-(r+1),得 r=4,所以 r=4. 答案:4

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8.求(2x2+1x)9 的展开式中第 3 项的二项式系数及第 4 项的系数. 解:通项公式为 Tr+1=Cr9(2x2)9-r·???1x???r=29-r·Cr9x18-3r,故第 3 项 的二项式系数为 C29=36,第 4 项的系数为 26C93=5 376.

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1.求二项展开式特定项的一般步骤

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2.求二项展开式的特定项应注意的问题 通项公式的主要作用是求展开式中的特定项,常见的题型有:①求 第 r 项;②求含 xr(或 xpyq)的项;③求常数项;④求有理项.其中求有理 项时一般根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整 数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要 求,令其属于整数,再根据整数的整除性来求解.另外,若通项中含有 根式,一般把根式化为分数指数幂,以减少计算中的错误. 3.二项式系数与项的系数的区别 二项式系数 Crn与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一 定为正,而项的系数有时可以为负.

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