「精品」高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系自主训练新人教B版必修2

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1.2.3 空间中的垂直关系

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1.若直线 l 不垂直于平面 α ,那么平面 α 内( )

A.不存在与 l 垂直的直线

B.只存在一条与 l 垂直的直线

C.存在无数条直线与 l 垂直

D.以上都不对

思路解析:直线与平面不垂直也可以垂直平面内的无数条直线,不过它们都是平行直线,不能是相交

直线.

答案:C

2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,与 AD1 垂直的平面是( )

A.平面 DD1C1C

B.平面 A1DB1

C.平面 A1B1C1D1

D.平面 A1DB

思路解析:由直线与平面垂直的判定定理可以证明与 AD1 垂直的平面是平面 A1DB1.

答案:B

3.(2006 广东高考,5)给出以下四个命题:

①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;

③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

其中真命题的个数是( )

A.4

B.3

C.2

D.1

思路解析:由定义及判定定理知①②④正确,故选 B.

答案:B

4.设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是( )

A.m⊥α ,n ? β ,m⊥n ?α ⊥β

B.α ∥β ,m⊥α ,n∥β ?m⊥n

C.α ⊥β ,m⊥α ,n∥β ?m⊥n

D.α ⊥β ,α ∩β =m,n⊥m ?n⊥β

思路解析:正确的命题是 α ∥β ,m⊥α ,n∥β ?m⊥n,选 B.

答案:B

5.已知正△ABC 的边长为 2 cm,PA⊥平面 ABC,A 为垂足,且 PA=2 cm,那么 P 到 BC 的距离为

_____________.

思路解析:取 BC 的中点 D,连结 AD、PD,由于△ABC 为等边三角形,所以 AD⊥BC,

又 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥BC,则 BC⊥平面 PAD,所以 BC⊥PD,故 PD 就是所求的距离,

根据正△ABC 的边长为 2 cm,则 AD=3,在 Rt△PAD 中,PA=2,根据勾股定理可得 PD=7.

答案: 7

6.若平面 α 及这个平面外的一条直线 l 同时垂直于直线 m,则直线 l 和平面 α 的位置关系是

___________________.

思路解析:过 l 作平面 β ,设 α ∩β =a.∵m⊥α ,∴m⊥a.又 m⊥l,l、a 同在 β 内,故 l∥a.∴l∥α .

答案:l∥α

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7.Rt△ABC 的斜边 AB 在平面 α 内,直角顶点 C 在 α 外,C 在 α 上射影为 D(不在 AB 上),则△ABD

是( )

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.锐角或钝角三角形

1

思路解析:如图,AD<AC,DB<BC,∴AD2+DB2<AC2+BC2=AB2.∴∠ADB 为钝角.

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图 1-2-3-7 答案:C 8.正方形 ABCD 的边长为 12,PA⊥平面 ABCD,PA=12,则点 P 到对角线 BD 的距离为( )

A.12 3

B.12 2

思路解析:如图,连结 AC 交 BD 于 O 点,

C. 6 3

D. 6 6

则 PA⊥BD,AO⊥BD.∴BD⊥面 PAO. 故 PO 为 P 到 BD 的距离.
在 Rt△AOP 中,PA=12,AO= 6 2 .

图 1-2-3-8

∴PO= 6 6 .

答案:D

9.P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,若 P 到四边的距离都相等,则 ABCD( )

A.是正方形

B.是长方形

C.有一个内切圆

D.有一个外接圆

思路解析:根据空间射影定理,点 P 在面 ABCD 内射影为四边形的内切圆的圆心.

答案:C

10.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点而垂直于第二个平面的直线在第一

个平面内.

思路解析:反证法与同一法都是间接证法,但前者证的是原命题的逆否命题;后者证的是原命题的逆

命题,但原命题必须符合同一法则.由于同一法则不易掌握,所以遇到有可能利用同一法证明的题,

可改为用反证法形式证明.如题中可假设 α ,在平面 α 内作 AE⊥CD,得 AE⊥β ,又 AB⊥β ,与

过一点只有一条直线与平面垂直矛盾,所以假设不成立,得 AB ? α .

图 1-2-3-9 答案:已知:α ⊥β ,α ∩β =CD,A∈α ,AB⊥β .
求证:AB ? α .
证明:如图,在平面 α 内作 AE⊥CD, 则 AE⊥β ,而 AB⊥β ,
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∴AB 与 AE 重合.∵AE ? α ,∴AB ? α .
11.如图 1-2-3-10 所示,四面体 A—BCD 被平行于棱 AB、CD 的平面 EFGH 所截.其中 AC=AD=BC=BD, AB=2CD,则 AH∶HC 的值为多少时,四边形 EFGH 的面积最大?

图 1-2-3-10

思路分析:根据线段之间的关系判定四边形的形状,写出面积的函数关系式,再求最值,体现了函数思

想.

解:如图所示,设 AH =λ , HC
则 AH ? ? , AC ? ?1
由题设可得 GH∥DC,EH∥AB,

∴GH= ? ·CD,EH= 1 ·AB.

? ?1

? ?1

又 AC=AD=BC=BD,

易证得 AB⊥CD.

∴四边形 EFGH 为矩形.

∴S 矩形 EFGH=GH·EH=
(?

1 ? 1) 2

·CD·AB=
?2

? ? 2?

·2·CD2=

?1

??

2 1

?2

·CD2≤ 2 ·CD2 = 1

2?2

2

CD2.

?

当且仅当 λ = 1 ,即 λ =1 时等号成立, ?
即 AH∶HC 等于 1 时,四边形 EFGH 面积取最大值.

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