启东高三数学期初考试(答案及评分建议)

2017 届高三第二学期期初考试 数学(Ⅰ)试题参考答案与评分建议 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需写出解答过程,请把答案直 Y 接填写在答题卡相应位置上。 C 3 Y (-∞,2] 1. {0} 2. 10 3. 25﹪(或 0.25) 4. 34 5. 6. 10 7. 1 10. ? 8. -5(必修 4,P131 复习题 12). 9. 2 2 1 2 → → → 【解析】由 OP = OA + OB 得∠AOB=120° ,四边形 OAPB 是菱形,且直线的斜率存在, 设直线方程为 y ? kx ? 5 ,由圆心到直线的距离为 2,即 11.24π 【解析】设底面半径为 r,高为 h,则 h ? 5 1? k 2 1 ? 2 ,解得 k ? ? . 2 16 16 2 , S 表 ? 2? (r ? ) , 2 r r ? ? 4? S表 r3 ? 8 ? <0,当 r>2, S 表 ? >0,故 r=2 时取得极小值,也是 ,当 0<r<2 时 S 表 r2 最小值,最小值为 24π. 1 ? 12.? ?3,+∞? 【解析】当 n≥2 时,由 Sn=nan-2n(n-1)=n(Sn-Sn-1)-2n(n-1),得(n-1)Sn-nSn-1= Sn Sn-1 Sn 2n(n-1),即 - =2.所以数列{ }是以 2 为公差的等差数列. n n-1 n Sn 又因为 S1=a1=2,所以 =2n,即 Sn=2n2,从而 an=4n-2, n 2n-1 因为 λSn+1>an 对 n∈N*均成立?λ> 恒成立, (n+1)2 2n-1 3 2 1 1 1 1 设 f(n)= =- + =-3( - )2+ ≤ ,当且仅当 n=2 时取等号. 3 3 (n+1)2 (n+1)2 n+1 n+1 3 高三数学参考答案 第 1 页 (共 8 页) 1 ? 所以实数 λ 的取值范围为? ?3,+∞?. 【另解】当 n≥2 时,由 Sn-1=(n-1)an-1-2(n-1) (n-2)和 Sn=nan-2n(n-1),相减得 an= nan-(n-1)an-1-4(n-1),即为 an-an-1=4,从而 an=4n-2 下同。 13.6 y y 16x 16 16 【解析】令 =t>0,则 + =t+ =(t+2)+ -2≥2 x x 2x+y t+2 t+2 16 且仅当 t+2= ,即 t=2 时,取“=”. t+2 14.(3,5) 【解析】当 x>1 时,f(x)≥lnx>0,所以 f(x)在(1,+∞)无零点. 当 x=1 时,若 k≤5,则 f(1)=max{k-5,0}=0,故 x=1 是 f(x)的零点; 若 k>5,则 f(1)=max{k-5,0}=k-5>0,故 x=1 不是 f(x)的零点. 当 x∈(0,1)时,ln x<0,所以只需考虑 g(x)=-4x3+kx-1 在(0,1)的零点个数.g′(x)= -12x2+k, ① 若 k≤0,则当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,故 g(x)在(0,1)单调递减,所以 g(x)在(0,1) 至多有一个零点. ② 若 k>0,则 g(x)在(0, (0,1)至多有两个零点.当 x= k )单调递增,在( 12 k ,+∞)单调递减,故 g(x) 在 12 k k 3k )= -1. 12 9 k k 3k )= - 12 9 (t+2)× 16 -2=6,当 t+2 k 时,g(x)取得最大值,值为 g( 12 要使 g(x)在(0,1)有两个零点,只要满足 0< 1>0,g(1)=k-5<0,解得 3<k<5. 综上,实数 k 的取值范围是(3,5). k <1,g(0)=-1<0,g( 12 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。 15. (1)由 3bsinA-acosB=2a 及 a b c ? ? sin A sin B sin C …………2 分 可得 3sinBsinA-sinAcosB=2sinA, 因为 sinA≠0, 高三数学参考答案 第 2 页 (共 8 页) π π 所以 2= 3sinB-cosB=2sin(B- ),即 sin(B- )=1, 6 6 π π 5π 又因为 B∈(0,π) ,所以 B- ∈(- , ), 6 6 6 π π 2π 所以 B- = ,所以 B= . 6 2 3 1 15 3 1 3 (2)因为 S= acsinB,即 = ac× ,所以 ac=15,① 2 4 2 2 又因为 b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac=(a+c)2-ac, 即 49=(a+c)2-ac,② 由①②两式解得(a+c)2=64, 因为 a,c 为正数,所以 a+c=8. 16. (1)如图,取 PB 的中点 E,连接 DE,QE. 1 因为 D 是 AB 的中点,所以 DE∥AP 且 DE= AP. 2 …………2 分 …………4 分 …………7 分 …………10 分 …………12 分 …………14 分 因为 AP⊥平面 ABC,CQ⊥平面 ABC,所以 AP∥CQ,…………4 分 所以 DE∥CQ. 又 AP=2CQ,所以 DE=CQ. 所以四边形 CDEQ 为平行四边形,则 CD∥QE. …………6 分 P 因为 CD?平面 PBQ,QE?平面 PBQ, 所以 CD∥平面 PBQ. …………8 分 (2)因为△ABC 为等边三角形,D 是 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 因为 AP⊥平面 ABC,CD?平面 ABC, A 所以 CD⊥AP. …………10 分 又 CD∥QE,所以 QE⊥AB,QE⊥AP 又 AB∩AP=A, AB?平面 PAB,AP?平面 PAB, 所以 QE⊥平面 PAB, …………12 分 因为

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