山东省淄博市实验中学2015届高考数学三模试卷(文科)

山东省淄博市实验中学 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知复数 z=(1﹣i) (1+2i) ,其中 i 为虚数单位,则 的虚部为() A.﹣i B. 1 C . ﹣1 D.i 2. (5 分)设全集 U=R,A={x∈N|y=ln(2﹣x)},B={x|2 A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{1}
2 2 x(x﹣2)

≤1},A∩B=() D.{0,1}

3. (5 分)若点 P(3,﹣1)为圆(x﹣2) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为() A.x+y﹣2=0 B.2x﹣y﹣7=0 C.2x+y﹣5=0 D.x﹣y﹣4=0 4. (5 分)设向量 A.﹣ B. , =(2,sinα) ,若 C . ﹣3 ,则 tan(α﹣ D.3 )等于()

5. (5 分)设直线 l:kx﹣y+1=0 与圆 C:x +y =4 相较于 A、B 两点, 圆 C 上,则实数 k 等于() A.1 B. 2

2

2

=

+

,且点 M 在

C . ﹣1

D.0

6. (5 分)已知点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x+3y﹣1=0 的两侧,且 a>0,b>0,则 w=a﹣2b 的取值范围是() A.[﹣ , ] B.(﹣ ,0) C.(0, ) D.(﹣ , )

7. (5 分)在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是数列{an}的前 n 项的和,若 Sn 取得最大值,则 n 取值为() A.7 B. 8 C. 9 D.10

8. (5 分)设 a= A.a>b>c

,b=

,c=

,则 a,b,c 的大小关系为() C.c>b>a D.c>a>b

B.b>a>c

9. (5 分)已知双曲线
2



=1(a>0,b>0)的实轴长为 4

,虚轴的一个端点与抛物线

x =2py(p>0)的焦点重合,直线 y=kx﹣1 与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行,则 p=() A.4 B. 3 C. 2 D.1

10. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取 值范围是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1)

3

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)已知等差数列{an}中,a3=6,a6=3,则 a9=. 12. (5 分)直线过点(2,﹣3) ,且在两个坐标轴上的截距互为相反数,则这样的直线方程是.

13. (5 分)已知 x,y 满足

,则|x+y+1|的最大值为.

14. (5 分)某班级 54 名学生第一次考试的数学成绩为 x1,x2,…,x54,其均值和标准差分别 为 90 分和 4 分,若第二次考试每位学生的数学成绩都增加 5 分,则这 54 位学生第二次考试 数学成绩的均值与标准差的和为 分. 15. (5 分)椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个交点发射的光线,经椭圆反射后,反射 光先经过椭圆的另一个交点,现设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程 + =1,点

A 和 B 是它们的两个交点,当静止的小球放在点 A 处, 从点 A 沿直线出发, 经椭圆壁反弹后, 再回到点 A 时,小球经过的路程是.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)已知向量 =(cosA,﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ? =cos2C,其中 A,B,C 是△ ABC 的内角 (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA+2sinB 的取值范围. 17. (12 分)在如图所示的几何体中,四边形 CDEF 为正方形,四边形 ABCD 为等腰梯形, AB∥CD,AC= ,AB=2BC=2,AC⊥FB. (1)求三棱锥 A﹣BCF 的体积. (2)线段 AC 上是否存在点 M,使得 EA∥平面 FDM?证明你的结论.

18. (12 分)一个袋中有 4 个大小质地相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个(分别标号为 1, 2) ,黑球 1 个,现从袋中有放回的取球,每次随机取 1 个. (1)求连续取两次都没取到白球的概率; (2)若取 1 个红球记 2 分,取 1 个白球记 1 分,取 1 个回球记 0 分,连续取两次球,求分数 之和为 2 或 3 的概率. 19. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3 ,n∈N .由 n (Ⅰ)设 bn=Sn﹣3 ,求数列{bn}的通项公式; * (Ⅱ)若 an+1≥an,n∈N ,求 a 的取值范围.
n *

20. (13 分)已知点 B 是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上顶点,F1,F2 分别是椭圆的左右

焦点,直线 BF1,BF2 与椭圆分别交于 E,F 两点,△ BEF 为等边三角形. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知点(1, )在椭圆 C 上,且直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,若直线 F1M, F2N 的倾斜角分别为 α,β,且 α+β= ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

21. (14 分)已知函数 f(x)=a +x ﹣xlna(a>0,a≠1) . (1)求函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调增区间; (3)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围.

x

2

山东省淄博市实验中学 2015 届高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知复数 z=(1﹣i) (1+2i) ,其中 i 为虚数单位,则 的虚部为() A.﹣i B. 1 C . ﹣1 D.i 考点: 专题: 分析: 解答: 复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 解:∵复数 z=(1﹣i) (1+2i)=3+i,

∴ =3﹣i 的虚部为﹣1. 故选:C. 点评: 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义,属于基础题. 2. (5 分)设全集 U=R,A={x∈N|y=ln(2﹣x)},B={x|2 A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{1}
x(x﹣2)

≤1},A∩B=() D.{0,1}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中 x 的范围,确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 解答: 解:由 A 中 x∈N,y=ln(2﹣x) ,得到 2﹣x>0,即 x<2, ∴A={0,1}, 由 B 中不等式变形得:2 ≤1=2 , 即 x(x﹣2)≤0, 解得:0≤x≤2,即 B=[0,2], 则 A∩B={0,1}. 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. (5 分)若点 P(3,﹣1)为圆(x﹣2) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为() A.x+y﹣2=0 B.2x﹣y﹣7=0 C.2x+y﹣5=0 D.x﹣y﹣4=0 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 设圆心 C(2,0) ,连接 PC,由 P(3,﹣1)为圆的弦的中点可得 AB⊥PC,由 可求 KAB=1,从而 可求直线 AB 的方程. 解答: 解:设圆心 C(2,0) ,连接 PC 由 P(3,﹣1)为圆的弦的中点可得 AB⊥PC ∵ ∴KAB=1
2 2 x(x﹣2) 0

直线 AB 的方程为 x﹣y﹣4=0 故选 D. 点评: 本题主要考查了利用直线垂直关系求解直线的斜率,主要应用了圆的性质:垂直于 (平分)弦的直径平分(垂直于)弦

4. (5 分)设向量 A.﹣ B.

, =(2,sinα) ,若 C . ﹣3

,则 tan(α﹣ D.3

)等于()

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系;两角和与差的正切函数. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用 解答: 解:∵ ∴ 故选 B. 点评: 熟练掌握 ? 、两角差的正切公式是解题的关键. ? ,即可得出 tanα,再利用两角差的正切公式即可得出.

,∴2cosα﹣sinα=0,即 tanα=2. = ,

5. (5 分)设直线 l:kx﹣y+1=0 与圆 C:x +y =4 相较于 A、B 两点, 圆 C 上,则实数 k 等于() A.1 B. 2

2

2

=

+

,且点 M 在

C . ﹣1

D.0

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知得四边形 OAMB 为菱形,弦 AB 的长为 2 ,又直线过定点 N(0,1) ,且 过 N 的弦的弦长最小值为 2 ,由此能求出结果. 解答: 解:由题意可得,四边形 OAMB 为平行四边形,∴四边形 OAMB 为菱形, ∴△OAM 为等边三角形,且边长为 2, 解得弦 AB 的长为 2 ,又直线过定点 N(0,1) , 且过 N 的弦的弦长最小值为 2 , 此时此弦平行 x 轴,即 k=0, 故选:D. 点评: 本题考查满足条件的实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质 的合理运用,属于基础题. 6. (5 分)已知点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x+3y﹣1=0 的两侧,且 a>0,b>0,则 w=a﹣2b 的取值范围是() A.[﹣ , ] B.(﹣ ,0) C.(0, ) D.(﹣ , )

考点: 简单线性规划的应用;二元一次不等式的几何意义;直线的斜率. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x+3y﹣1=0 的两侧,那么把这两个点代入 2x+3y ﹣1,它们的符号相反,结合 a>0,b>0,画出可行域,则 w=a﹣2b 的取值范围. 解答: 解:点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x+3y﹣1=0 的两侧,且 a>0,b>0,

可得:

,可行域如图:w=a﹣2b 经过可行域的 A 与 B 时分别取得最大值与最

小值. ∵A( ∴wA= 故选:D. ) ,B( ) ,

,wB= ,∴w∈(﹣ , ) .

点评: 本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性,考查了问题的转化能 力和推理能力,属于中档题. 7. (5 分)在等差数列{an}中,满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是数列{an}的前 n 项的和,若 Sn 取得最大值,则 n 取值为() A.7 B. 8 C. 9 D.10 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 把 a1 和 d 代入 3a4=7a7,求得 a1=﹣ 9 项均为正数,进而可知答案. 解答: 解:∵3a4=7a7,且 a1>0, ∴数列的公差 d<0 ∵3a4=7a7∴3(a1+3d)=7(a1+6d) 整理得 a1=﹣ d d,进而可判断 a9>0,a10<0,故可知数列前

∴a9=a1+8d>0,a10=a1+9d<0 ∴前 9 项和 Sn 最大.

故选 C. 点评: 本题主要考查了等差数列的性质.数列的单调性.属基础题.

8. (5 分)设 a= A.a>b>c

,b=

,c=

,则 a,b,c 的大小关系为() C.c>b>a D.c>a>b

B.b>a>c

考点: 不等式比较大小. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 化为 a= = ,b= = ,c= ,即可比较出大小.

解答: 解:∵a=
2

=

,b=

=

,c=



36e >49e>64, ∴a<b<c. 故选:C. 点评: 本题考查了不等式的性质,属于基础题.

9. (5 分)已知双曲线
2



=1(a>0,b>0)的实轴长为 4

,虚轴的一个端点与抛物线

x =2py(p>0)的焦点重合,直线 y=kx﹣1 与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行,则 p=() A.4 B. 3 C. 2 D.1 考点: 圆锥曲线的综合;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点坐标,推出双曲线的渐近线方程,利用直线与抛物线相切求解即 可. 解答: 解:抛物线 x =2py(p>0)的焦点(0, ) ,可得 b= ,a=2
2

,双曲线方程为:



它的渐近线方程为:

,即:

, ,

直线 y=kx﹣1 与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行,不妨:k=

,可得

=



△=

,解得 p=±4.

∵p>0,∴p=4. 故选:A. 点评: 本题考查抛物线与双曲线以及直线方程的综合应用,考查分析问题解决问题的能力. 10. (5 分)已知函数 f(x)=ax ﹣3x +1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取 值范围是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: 分类讨论: 当 a≥0 时, 容易判断出不符合题意; 当 a<0 时, 由于而 ( f 0) =1>0, x→+∞ 时,f(x)→﹣∞,可知:存在 x0>0,使得 f(x0)=0,要使满足条件 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则必须极小值 f( )>0,解出即可. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=﹣3x +1=0,解得 x=± 题意,应舍去; 当 a>0 时,令 f′(x)=3ax ﹣6x=3ax(x﹣ )=0,解得 x=0 或 x= >0,列表如下: x (﹣∞,0) 0 (0, ) ( ,+∞)
2 2 3 2

,函数 f(x)有两个零点,不符合

f′(x)+ 0 ﹣ 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而 f(0)=1>0, ∴存在 x<0,使得 f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,应舍去. 当 a<0 时,f′(x)=3ax ﹣6x=3ax(x﹣ )=0,解得 x=0 或 x= <0,列表如下: x (﹣∞, ) ( ,0) 0 (0,+∞)
2

f′(x)﹣ 0 + 0 ﹣ f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 而 f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞, ∴存在 x0>0,使得 f(x0)=0, ∵f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0, ∴极小值 f( )>0,化为 a >4, ∵a<0,∴a<﹣2. 综上可知:a 的取值范围是(﹣∞,﹣2) . 故选:C. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了 推理能力和计算能力,属于难题.
2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上.. 11. (5 分)已知等差数列{an}中,a3=6,a6=3,则 a9=0. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 在等差数列{an}中,设出公差为 d,根据 a3=6,a6=3,求出公差和首项,然后求出等 差数列的通项公式,从而求解. 解答: 解:在等差数列{an}中,a3=6,a6=3, a1+2d=6①,a1+5d=3②, 联立①②可得,3d=﹣3,d=﹣1; a1=8,∴an=a1+(n﹣1)d=8+(n﹣1)×(﹣1)=9﹣n; ∴a9=0, 故答案为:0. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式及其应用,考查解方程的运算求解能力,属于基 础题. 12. (5 分)直线过点(2,﹣3) ,且在两个坐标轴上的截距互为相反数,则这样的直线方程是 3x+2y=0 或 x﹣y﹣5=0. 考点: 直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 当直线经过原点时满足条件,直接得出;当直线不经过原点时,设 (2,﹣3)代入即可得出. 解答: 解:当直线经过原点时满足条件,此时直线方程为 当直线不经过原点时,设 ,把点(2,﹣3)代入可得: ,化为 3x+2y=0; =1,解得 a=5. ,把点

∴直线方程为 x﹣y﹣5=0. 综上可得:直线方程为 3x+2y=0 或 x﹣y﹣5=0. 故答案为:3x+2y=0 或 x﹣y﹣5=0. 点评: 本题考查了直线的截距式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题.

13. (5 分)已知 x,y 满足

,则|x+y+1|的最大值为 6.

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求解即可. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) .

设 z=x+y+1 得 y=﹣x+z﹣1,平移直线 y=﹣x+z﹣1, 由图象可知当直线 y=﹣x+z﹣1 经过点 A(1,0)时, 直线 y=﹣x+z﹣1 的截距最小,此时 z 最小. 此时 z=1+1=2, 当直线经过点 B 时,直线截距最大, 由 ,

解得

,即 B(2,3) ,

代入目标函数 z=x+y+1 得 z=2+3+1=6. 即 2≤z≤6, 则 2≤|x+y+1|≤6, 故|x+y+1|的最大值为 6. 故答案为:6.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法. 14. (5 分)某班级 54 名学生第一次考试的数学成绩为 x1,x2,…,x54,其均值和标准差分别 为 90 分和 4 分,若第二次考试每位学生的数学成绩都增加 5 分,则这 54 位学生第二次考试 数学成绩的均值与标准差的和为 99 分. 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 利用标准差、均值的性质即得结论. 解答: 解:当每位学生的数学成绩都增加 5 分时, 由标准差的性质可知:标准差不变, 但均值增加 5, 即均值与标准差的和增加了 5, 故答案为:99. 点评: 本题考查标准差、均值的性质,注意解题方法的积累,属于基础题.

15. (5 分)椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个交点发射的光线,经椭圆反射后,反射 光先经过椭圆的另一个交点,现设有一个水平放置的椭圆形台球盘,满足方程 + =1,点

A 和 B 是它们的两个交点,当静止的小球放在点 A 处, 从点 A 沿直线出发, 经椭圆壁反弹后, 再回到点 A 时,小球经过的路程是 2 或 18 或 20. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据椭圆的光学性质可知,当静止的小球放在点 A 处,从点 A 沿直线出发,射到左 顶点, 经椭圆壁反弹后, 再回到点 A 时,小球经过的路程是 2; 射到右顶点, 经椭圆壁反弹后, 再回到点 A 时,小球经过的路程是 18;小球从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹到 B 点继续前 行碰椭圆壁后回到 A 点,所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和,进而根据椭 圆的定义可求得答案. 解答: 解:依题意可知 + =1 中,a=5,b=3,c=4,设 A,B 分别为左、右焦点,

则当静止的小球放在点 A 处,从点 A 沿直线出发,射到左顶点,经椭圆壁反弹后,再回到点 A 时,小球经过的路程是 2; 射到右顶点,经椭圆壁反弹后,再回到点 A 时,小球经过的路程是 18; 小球经两次椭圆壁后反弹后回到 A 点,根据椭圆的性质可知所走的路程正好是 4a=4×5=20. 故答案为:2 或 18 或 20. 点评: 本题主要考查了椭圆的应用.解题的关键是利用了椭圆的第一定义. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)已知向量 =(cosA,﹣sinA) , =(cosB,sinB) , ? =cos2C,其中 A,B,C 是△ ABC 的内角 (1)求角 C 的大小; (2)求 sinA+2sinB 的取值范围. 考点: 平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析: (1)由数量积的坐标运算结合两角和的余弦化为关于 cosC 的一元二次方程求得 cosC,从而得到角 C 的大小; (2)用 A 表示 B,借助于辅助角公式化简,则 sinA+2sinB 的取值范围可求. 解答: 解: (1) =cosAcosB﹣sinAsinB=cos(A+B) ,

∵A+B+C=π,∴cos(A+B)=﹣cosC=cos2C, 2 即 2cos C+cosC﹣1=0. 故 cosC= 或 cosC=﹣1. 又 0<C<π,∴C= ;

(2)sinA+2sinB=sinA+2sin( 其中 θ 为锐角,且 tanθ= ∵0<A< ,0<θ< .

﹣A)=2sinA+

cosA=

sin(A+θ) ,

.∴θ<A+θ< ,A=

+θ.当 A+θ=

时,sinA+2sin 有最大值 ,



又∵A=0 时,sinA+2sinB= 故 sinA+2sin2B 的取值范围是

时,sinA+2sinB= .

点评: 本题考查平面向量的数量积运算,考查三角函数值域的求法,关键是对角范围的讨 论,是中档题. 17. (12 分)在如图所示的几何体中,四边形 CDEF 为正方形,四边形 ABCD 为等腰梯形, AB∥CD,AC= ,AB=2BC=2,AC⊥FB. (1)求三棱锥 A﹣BCF 的体积. (2)线段 AC 上是否存在点 M,使得 EA∥平面 FDM?证明你的结论.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面垂直的判定定理证明 AC⊥平面 FBC,FC⊥平面 ABCD,再利用体积 公式求解即可; (2)根据线面平行的判定定理即可证明. 解答: 解: (1)在△ ABC 中, 因为 AC= ,AB=2,BC=1, 所以 AC⊥BC,∠ABC=60,∠ADC=120°. 在△ ADC 中,由余弦定理可得 DC=1, 又因为 AC⊥FB,BC∩FB=B, 所以 AC⊥平面 FBC. 因为 FC?平面 FBC, 所以 AC⊥FC, 因为 CDEF 为正方形, 所以 DC⊥FC,FC=1, 因为 AC∩DC=C, 所以 FC⊥平面 ABCD,即 FC⊥BC,

所以 VA﹣FBC=

=

=



(2)M 为线段 AC 的中点,EA∥平面 FDM. 连结 CE,与 DF 交于点 N,连接 MN. 因为 CDEF 为正方形,所以 N 为 CE 中点. 在△ ACE 中,EA∥MN. 因为 MN?平面 FDM,EA?平面 FDM, 所以 EA∥平面 FDM.

点评: 本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定,考查体积的计算,要求熟练掌握 相应的判定定理. 18. (12 分)一个袋中有 4 个大小质地相同的小球,其中红球 1 个,白球 2 个(分别标号为 1, 2) ,黑球 1 个,现从袋中有放回的取球,每次随机取 1 个. (1)求连续取两次都没取到白球的概率; (2)若取 1 个红球记 2 分,取 1 个白球记 1 分,取 1 个回球记 0 分,连续取两次球,求分数 之和为 2 或 3 的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用列举法写出连续取两次的事件总数情况,共 16 种,从中算出连续取两次 都不是白球的种数,最后求出它们的比值即可; (2)从中数出连续取二次分数之和为 2 或 3 的种数,根据互斥事件的概率公式,计算即可. 解答: 解: (1)连续取两次所包含的基本事件有: (红,红) , (红,白 1) , (红,白 2) , (红, 黑) ; (白 1,红) (白 1,白 1) (白 1,白 2) , (白 1,黑) ; (白 2,红) , (白 2,白 1) , (白 2,白 2) , (白 2,黑) ; (黑,红) , (黑,白 1) , (黑,白 2) , (黑,黑) , 所以基本事件的总数 16 个, 设事件 A:“连续取两次都没有取到白球”,则事件 A 所包含的基本事件有: (红,红) , (黑, 红) , (红,黑) , (黑,黑)4 个基本事件, 所以 P(A)= = ,

(2)设事件 B:“连续取两次分数之和为 2“,则事件 B 由(红,黑) , (白 1,白 1) , (白 1, 白 2) , (白 2,白 1) , (白 2,白 2) , (黑,红) ,6 个基本事件组成, 则 P(B)= = ,

设事件 C:“连续取两次分数之和为 3“,则事件 C 由(红,白 1) , (红,白 2) , (白 1,红) ; (白 2,红) ,4 个基本事件组成,

则 P(C)=

= ,

设事件 D,“连续取两次分数之和为 2 或 3”,且 B 与 C 互斥, 则 P(D)=P(B)+P(C)= + = . 点评: 本题考查了古典概型的概率问题,关键是列举基本的事件,属于基础题. 19. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3 ,n∈N .由 n (Ⅰ)设 bn=Sn﹣3 ,求数列{bn}的通项公式; * (Ⅱ)若 an+1≥an,n∈N ,求 a 的取值范围. 考点: 数列递推式;数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题;压轴题. n n+1 n n 分析: (Ⅰ)依题意得 Sn+1=2Sn+3 ,由此可知 Sn+1﹣3 =2(Sn﹣3 ) .所以 bn=Sn﹣3 =(a n﹣1 * ﹣3)2 ,n∈N . n n﹣1 * (Ⅱ)由题设条件知 Sn=3 +(a﹣3)2 ,n∈N ,于是,an=Sn﹣Sn﹣
1= n *

,由此可以求得 a 的取值范围是[﹣9,+∞) .
n n

解答: 解: (Ⅰ)依题意,Sn+1﹣Sn=an+1=Sn+3 ,即 Sn+1=2Sn+3 , n+1 n n+1 n 由此得 Sn+1﹣3 =2Sn+3 ﹣3 =2(Sn﹣3 ) . (4 分) n n﹣1 * 因此,所求通项公式为 bn=Sn﹣3 =(a﹣3)2 ,n∈N .①(6 分) n n﹣1 * (Ⅱ)由①知 Sn=3 +(a﹣3)2 ,n∈N , 于是,当 n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1=3 +(a﹣3)×2 an+1﹣an=4×3 当 n≥2 时,
n﹣1 n n﹣1

﹣3

n﹣1

﹣(a﹣3)×2

n﹣2

=2×3

n﹣1

+(a﹣3)2 ,

n﹣2



+(a﹣3)2

n﹣2

= ?a≥﹣9.

又 a2=a1+3>a1. 综上,所求的 a 的取值范围是[﹣9,+∞) . (12 分) 点评: 本题考查数列的综合运用,解题时要仔细审题,注意挖掘题设中的隐含条件.

20. (13 分)已知点 B 是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上顶点,F1,F2 分别是椭圆的左右

焦点,直线 BF1,BF2 与椭圆分别交于 E,F 两点,△ BEF 为等边三角形. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知点(1, )在椭圆 C 上,且直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,若直线 F1M, F2N 的倾斜角分别为 α,β,且 α+β= ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)根据三角形为等边三角形,列式求解离心率. 2 (Ⅱ) 先求得椭圆方程, 直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 联立, 得所以 (k ﹣1) x1x2+ (mk+1) (x1+x2) 2 +m ﹣1=0,依条件求解. 解答: 解: (Ⅰ)B(0,b)F1(﹣c,0) ,F2(c,0) . 又△ BEF 为等边三角形,所以,△ BF1F2 为等边三角形. ∴2c= 由①②解得 椭圆 C 的离心率 .…(3 分)
2 2 2

,①又 a =b +c ②

2

2

2

(Ⅱ)由题意椭圆方程为 3x +4y =3a ,由于点(1, )在椭圆 C 上,

因此 a =4,b =3,因此椭圆方程为

2

2

.…(4 分)

联立

,消去 y,得(3+4k )x +8mkx+4m ﹣12=0.设 M(x1,y1) .N(x2,y2) ,

2

2

2

则 因此 tanαtanβ=1,即
2

,由

,得 sinα=cosβ,cosα=sinβ,…(7 分)

,因此(kx1+m) (kx2+m)=(x1﹣1) (x2﹣1) ,
2

所以(k ﹣1)x1x2+(mk+1) (x1+x2)+m ﹣1=0,…(9 分) 因此
2 2 2

+m ﹣1=0,整理,得

2

m +8mk+16k ﹣9=0,即(m+4k) =3,m=﹣4k±3.…(11 分) 于是直线方程为 y=k(x﹣4)±3,因此直线过定点(4,3)或(4,﹣3) .…(13 分) 点评: 本题主要考查了椭圆离心率的求法和直线和圆锥曲线的综合应用, 属于中档题, 2015 届高考经常涉及. 21. (14 分)已知函数 f(x)=a +x ﹣xlna(a>0,a≠1) .
x 2

(1)求函数 f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)求函数 f(x)单调增区间; (3)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区 间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求函数的导函数 f′(x) ,再求所求切线的斜率即 f′(0) ,由于切点为(0,0) , 故由点斜式即可得所求切线的方程; x x (2)先求原函数的导数得:f'(x)=a lna+2x﹣lna=2x+(a ﹣1)lna,再对 a 进行讨论,得到 f'(x)>0,从而函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (3)f(x)的最大值减去 f(x)的最小值大于或等于 e﹣1,由单调性知,f(x)的最大值是 f(1)或 f(﹣1) ,最小值 f(0)=1,由 f(1)﹣f(﹣1)的单调性,判断 f(1)与 f(﹣1) 的大小关系,再由 f(x)的最大值减去最小值 f(0)大于或等于 e﹣1 求出 a 的取值范围. x 2 解答: 解: (1)∵f(x)=a +x ﹣xlna, x ∴f′(x)=a lna+2x﹣lna, ∴f′(0)=0,f(0)=1 即函数 f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为 0, ∴图象在点(0,f(0) )处的切线方程为 y=1; (3 分) (2)由于 f'(x)=a lna+2x﹣lna=2x+(a ﹣1)lna>0 x x ①当 a>1,y=2x 单调递增,lna>0,所以 y=(a ﹣1)lna 单调递增,故 y=2x+(a ﹣1)lna 单调递增, x 0 ∴2x+(a ﹣1)lna>2×0+(a ﹣1)lna=0,即 f'(x)>f'(0) ,所以 x>0 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当 0<a<1,y=2x 单调递增,lna<0,所以 y=(a ﹣1)lna 单调递增,故 y=2x+(a ﹣1) lna 单调递增, ∴2x+(a ﹣1)lna>2×0+(a ﹣1)lna=0,即 f'(x)>f'(0) ,所以 x>0 故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 综上,函数 f(x)单调增区间(0,+∞) ; (8 分) (3)因为存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1, 所以当 x∈[﹣1,1]时,|(f(x) )max﹣(f(x) )min| =(f(x) )max﹣(f(x) )min≥e﹣1, (12 分) 由(2)知,f(x)在[﹣1,0]上递减,在[0,1]上递增, 所以当 x∈[﹣1,1]时, (f(x) )min=f(0)=1, (f(x) )max=max{f(﹣1) ,f(1)}, 而 f(1)﹣f(﹣1)=(a+1﹣lna)﹣( 记 g(t)=t﹣ ﹣2lnt(t>0) , 因为 g′(t)=1+ ﹣ =( ﹣1) ≥0(当 t=1 时取等号) ,
2 x 0 x x x x

+1+lna)=a﹣ ﹣2lna,

所以 g(t)=t﹣ ﹣2lnt 在 t∈(0,+∞)上单调递增,而 g(1)=0,

所以当 t>1 时,g(t)>0;当 0<t<1 时,g(t)<0, 也就是当 a>1 时,f(1)>f(﹣1) ; 当 0<a<1 时,f(1)<f(﹣1) (14 分) ①当 a>1 时,由 f(1)﹣f(0)≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e, ②当 0<a<1 时,由 f(﹣1)﹣f(0)≥e﹣1? +lna≥e﹣1?0<a≤ , 综上知,所求 a 的取值范围为 a∈(0, ]∪[e,+∞) . (16 分) 点评: 本题考查了基本函数导数公式,导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性及利 用导数求闭区间上函数的最值.属于中档题.


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