北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题(理科)2010.5

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年高三抽样测试数学试题( 北京市西城区 2010 年高三抽样测试数学试题(理科)2010.5
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,选出符合 选择题: 要求的一项 1. 设集合 U = {1, 2, 3, 4, 5} , A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5} ,则 CU ( A ∩ B ) 等于 A. {1, 2,3, 4,5} B. {1, 2, 4, 5} C. {1, 2,5} D. {3}

2. " ln x > 1 "是" x > 1 "的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3. 若 b < a < 0 ,则下列不等式中正确的是 A.

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 > a b

B. a > b

C.

b a + >2 a b
C1

D. a + b > ab

4. 如图,三棱柱 ABC A1 B1C1 的侧棱长和底面 边长均为 2 , 且侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABC , (主) 其正 视图是边长为 2 的正方形,则此三棱柱侧(左) 视图的面积为 A. 3 C. 2 2 B. 2 3 D. 4 A A1
1 1

B1
2

C B
正(主)视图

5. 数列 {an } 满足 a1 = 1 , a2 = 3 , an +1 = (2n λ ) an ( n = 1, 2, ) ,则 a3 等于 A. 15 B. 10 C. 9
开始

D. 5

6. 在 数 列 {an } 中 , a1 = 1 , an = an 1 + n ,

n ≥ 2 .为计算这个数列前 10 项的和,现给出该
问题算法的程序框图(如图所示) ,则图中判断 框(1)处合适的语句是 A. i ≥ 8 B. i ≥ 9 C. i ≥ 10 D. i ≥ 11

i = 0, a = 0, s = 0
(1) 否 是

i = i +1 a = a+i s = s+a

输出 s 结束

7. 设集合 S = {1, , ,集合 A = {a1 , a2 , a3 } 是 S 的子集,且 a1 , a2 , a3 满足 a1 < a2 < a3 , 2, 9}

a3 a2 ≤ 6 ,那么满足条件的子集 A 的个数为

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A. 78

B. 76

C. 84

D. 83

8. 如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB // CD ,且 AB = 2 AD . 设 ∠DAB = θ , ∈ (0, θ

π

2

) , A ,B 为焦点且过点 D 的 以

D

C

双曲线的离心率为 e1 , C ,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离 A 以 心率为 e2 ,则 A.随着角度 θ 的增大, e1 增大, e1e2 为定值 B.随着角度 θ 的增大, e1 减小, e1e2 为定值 C.随着角度 θ 的增大, e1 增大, e1e2 也增大 D.随着角度 θ 的增大, e1 减小, e1e2 也减小 小题, 二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题 9. 某区高二年级的一次数学统考中,随机抽取 200 名同学 的成绩,成绩全部在 50 分至 100 分之间,将成绩按如下方 0.045 式分成 5 组:第一组,成绩大于等于 50 分且小于 60 分; 第二组,成绩大于等于 60 分且小于 70 分;……第五组, 成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分, 据此绘制了如图所 示的频率分布直方图.
0.005 0 0.025

θ

B

频率/组距

分数 50 60 70 80 90 100

则这 200 名同学中成绩大于等于 80 分且小于 90 分的学生有______名. 10. 在 ( x + ) 的展开式中,常数项是______.(结果用数值表示)
2 6

1 x

B C

11. 如图, ABC 是圆的内接三角形, PA 切圆于点 A , PB 交圆于 点

D . 若 ∠ABC = 60

,

PD = 1 , BD = 8 , 则
A D P

∠PAC = ________, PA = ________.

12. 圆 C :

x = 1 + 2 cos θ , y = 2 + 2 sin θ

( θ 为参数)的半径为______, 若圆 C 与直线 x y + m = 0 相切,

则 m = ______. 13. 设 a , b, c 为单位向量, a , b 的夹角为 60 ,则 (a + b + c ) c 的最大值为_____. 14. 已知函数 f ( x ) = e x + a ln x 的定义域是 D ,关于函数 f ( x ) 给出下列命题:

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①对于任意 a ∈ (0, +∞) ,函数 f ( x ) 是 D 上的减函数; ②对于任意 a ∈ ( ∞, 0) ,函数 f ( x ) 存在最小值; ③存在 a ∈ (0, +∞) ,使得对于任意的 x ∈ D ,都有 f ( x ) > 0 成立; ④存在 a ∈ ( ∞, 0) ,使得函数 f ( x ) 有两个零点. 其中正确命题的序号是_____. (写出所有正确命题的序号)②,④ 小题, 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题 15.(本小题满分 13 分) ( 如图,在四边形 ABCD 中, AB = 3 , AD = BC = CD = 2 , A = 60 . (Ⅰ)求 sin ∠ABD 的值; (Ⅱ)求 BCD 的面积. D

C

A

B

16.(本小题满分 13 分) ( 一个盒子中装有 5 张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是 1,2,3,4,5,现从盒 子中随机抽取卡片. (Ⅰ)若从盒子中有放回的取 3 次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到的卡片上数字为偶 数的概率; (Ⅱ)若从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到一张记有偶数 的卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数 X 的分布列和期望.

17.(本小题满分 13 分) ( 如图, 四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中,A1 D ⊥ 平面 ABCD , 底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, 侧棱 AA1 = 2 . (Ⅰ)求证: C1 D // 平面 ABB1 A1 ; (Ⅱ) 求直线 BD1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D A1C1 A 的余弦值. B1 A1 C1 D1

A B 18.(本小题满分 13 分) ( C

D

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已知 a ≥ 0 ,函数 f ( x) = x + ax .设 x1 ∈ ( ∞, ) ,记曲线 y = f ( x) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 处
2

a 2

的切线为 l , l 与 x 轴的交点是 N ( x2 , 0) , O 为坐标原点.

x12 (Ⅰ)证明: x2 = ; 2 x1 + a
(Ⅱ)若对于任意的 x1 ∈ ( ∞, ) ,都有 OM ON >

a 2

9a 成立,求 a 的取值范围. 16

19.(本小题满分 14 分) ( 如图, 椭圆 C : x +
2

y2 = 1 短轴的左右两个端点分别为 A, B ,直线 l : y = kx + 1 与 x 轴, y 轴 4
y l D F A E C O B x

分别交于两点 E , F ,与椭圆交于两点 C , D ,. (Ⅰ)若 CE = FD ,求直线 l 的方程; (Ⅱ) 设直线 AD, CB 的斜率分别为 k1 , k 2 , k1 : k 2 = 2 :1 , 若 求 k 的值.

20.(本小题满分 14 分) ( 在数列 {an } 和 {bn } 中, an = a , bn = ( a + 1) n + b , n = 1, 2, 3, ,其中 a ≥ 2 且 a ∈ N ,
n
*

b∈R .
(Ⅰ)若 a1 = b1 , a2 < b2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和; (Ⅱ)证明:当 a = 2, b =

2 时,数列 {bn } 中的任意三项都不能构成等比数列;

(Ⅲ)设 A = {a1 , a2 , a3 ,} , B = {b1 , b2 , b3 ,} ,试问在区间 [1, a ] 上是否存在实数 b 使得

C = A ∩ B ≠ .若存在,求出 b 的一切可能的取值及相应的集合 C ;若不存在,试说明理由.

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年抽样测试参考答案 北京市西城区 2010 年抽样测试参考答案 高三数学试卷(理科) 高三数学试卷(
一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 B 2010.5

二,填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题 9. 40 13. 10. 15 11. 60 , 3 12.

2 , 3 或 1

3 +1

14. ②④

注:两空的题目,第一个空 2 分,第二个空 3 分. 14 题②④选对一个命题得两分,选出错误的命题即得零分. 三,解答题: 解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准 给分.) 15,解: , (Ⅰ)已知 A = 60 , 由余弦定理得 BD = AB + AD 2 AB AD cos A = 7 ,
2 2 2

C D

解得 BD =

7,

…………………3 分 A …………………5 分 B

AD BD = , sin ∠ABD sin A AD 所以 sin ∠ABD = sin A . BD
由正弦定理,

=

2 3 21 × = . 7 7 2
2 2 2

…………………7 分

(Ⅱ)在 BCD 中, BD = BC + CD 2 BC CD cos C , 所以 7 = 4 + 4 2 × 2 × 2 cos C , cos C = 因为 C ∈ (0, π) ,所以 sin C =

1 , 8

…………………9 分

3 7 , 8

…………………11 分

所以, BCD 的面积 S =

1 3 7 BC CD sin C = . 2 4

…………………13 分

16,解: , (Ⅰ)设 A 表示事件"有放回地抽取 3 次卡片,每次抽取一张,恰有两次取到的卡片上 数字为偶数" ,

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由已知,每次取到的卡片上数字为偶数的概率为 则 P ( A) = C3 ( ) ×
2 2

2 , 5

…………………2 分 …………………5 分 …………………6 分 …………………7 分 …………………9 分 …………………10 分 …………………11 分

2 5

3 36 = . 5 125

(Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 1, 2,3, 4 .

2 , 5 3× 2 3 P ( X = 2) = = , 5 × 4 10 3× 2 × 2 1 P ( X = 3) = = , 5× 4× 3 5 3 × 2 ×1 1 P ( X = 4) = = , 5 × 4 × 3 10 所以 X 的分布列为 X 1 2 P 5
P ( X = 1) =

2 3 10

3 1 5

4 1 10
…………………12 分 …………………13 分

2 3 1 1 E ( X ) = 1× + 2 × + 3 × + 4 × = 2 . 5 10 5 10
17, (Ⅰ)证明:四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中, BB1 // CC1 , 证明: 17, 证明 又 CC1 面 ABB1 A1 ,所以 CC1 // 平面 ABB1 A1 ,

…………………2 分

ABCD 是正方形,所以 CD // AB ,
又 CD 面 ABB1 A1 ,所以 CD // 平面 ABB1 A1 , 所以平面 CDD1C1 // 平面 ABB1 A1 , 所以 C1 D // 平面 ABB1 A1 . (Ⅱ)解: ABCD 是正方形, AD ⊥ CD , 解 因为 A1 D ⊥ 平面 ABCD , 所以 A1 D ⊥ AD , A1 D ⊥ CD , 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz ,. 在 ADA1 中,由已知可得 A1 D = 3 , 所以 D (0, 0, 0), A1 (0, 0, 3), A(1, 0,0), C1 ( 1,1, 3) , …………………5 分 …………………4 分 …………………3 分

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B1 (0,1, 3), D1 (1, 0, 3), B(1,1, 0) , BD1 = (2, 1, 3) , ………6 分
因为 A1 D ⊥ 平面 ABCD , 所以 A1 D ⊥ 平面 A1 B1C1 D1 , B1 z A1 C1 D1

A1 D ⊥ B1 D1 ,
又 B1 D1 ⊥ A1C1 , 所以 B1 D1 ⊥ 平面 A1C1 D , …………………7 分 所以平面 A1C1 D 的一个法向量为 B x A y C D

n = (1,1, 0) ,

…………………8 分

设 BD1 与 n 所成的角为 β , 则 cos β =

n BD1 n BD1

=

3 3 = , 4 2 8

…………………9 分

所以直线 BD1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值为

3 . 4

…………………10 分

(Ⅲ)解:设平面 A1C1 A 的法向量为 m = ( a, b, c ) , 解 则 m A1C1 = 0, m A1 A = 0 , 所以 a + b = 0 , a 3c = 0 , 令c =

3 ,可得 m = (3, 3, 3) ,

…………………12 分

设二面角 D A1C1 A 的大小为 α , 则 cos α =

m n 6 42 = = . m n 7 2 21
42 . 7
…………………13 分

所以二面角 D A1C1 A 的余弦值为

18, (Ⅰ)对 f ( x ) 求导数,得 f ′( x ) = 2 x + a , 18,解: 故切线 l 的斜率为 2 x1 + a , 由此得切线 l 的方程为 y ( x1 + ax1 ) = (2 x1 + a )( x x1 ) .
2

…………………2 分 …………………4 分

令 y = 0 ,得 x2 =

x12 + ax1 x12 + x1 = . 2 x1 + a 2 x1 + a

…………………5 分

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(Ⅱ)由 M ( x1 , x1 + ax1 ), N (
2

x12 x13 , 0) ,得 OM ON = . 2 x1 + a 2 x1 + a

…………6 分

所以 a = 0 符合题意,

………………7 分

x13 a , x1 ∈ ( ∞, ) . 当 a > 0 时,记 g ( x1 ) = 2 x1 + a 2
对 g ( x1 ) 求导数,得 g ′( x1 ) = 令 g ′( x1 ) = 0 ,得 x1 =

x12 (4 x1 + 3a ) , (2 x1 + a ) 2

…………………8 分

3a a ∈ (∞, ) . 4 2

当 x1 ∈ ( ∞, ) 时, g ′( x1 ) 的变化情况如下表:

a 2

x1 g ′( x1 )

(∞,

3a ) 4



3a 4 0

(

3a a , ) 4 2



+

所以,函数 g ( x1 ) 在 ( ∞,

3a 3a a ) 上单调递减,在 ( , ) 上单调递增,……10 分 4 4 2 3a 27 2 从而函数 g ( x1 ) 的最小值为 g ( ) = a . …………………11 分 4 32 27 2 9a 依题意 a > , …………………12 分 32 16 2 2 解得 a > ,即 a 的取值范围是 ( , +∞) . …………………13 分 3 3 2 综上, a 的取值范围是 ( , +∞) 或 a = 0 . 3

19, (Ⅰ)设 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) , 19,解: 由

4 x 2 + y 2 = 4, 得 (4 + k 2 ) x 2 + 2kx 3 = 0 , y = kx + 1

= 4k 2 + 12(4 + k 2 ) = 16k 2 + 48 , 2 k 3 , x1 x2 = , 2 4+k 4 + k2 1 由已知 E ( , 0), F (0,1) , k x1 + x2 =
又 CE = FD ,所以 ( …………………2 分

1 x1 , y1 ) = ( x2 , y2 1) k

…………………4 分

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所以

1 1 x1 = x2 ,即 x2 + x1 = , k k 2 k 1 = ,解得 k = ±2 , 所以 4 + k2 k
符合题意,

…………………5 分 …………………6 分

所以,所求直线 l 的方程为 2 x y + 1 = 0 或 2 x + y 1 = 0 . …………………7 分 (Ⅱ) k1 =

y2 y1 , k2 = , k1 : k2 = 2 :1 , x2 + 1 x1 1
…………………8 分

所以

y2 ( x1 1) 2 = , y1 ( x2 + 1) 1
2 y2 ( x1 1)2 = 4, y12 ( x2 + 1) 2

平方得

…………………9 分

又 x1 +
2

y12 2 2 = 1 ,所以 y12 = 4(1 x12 ) ,同理 y2 = 4(1 x2 ) ,代入上式, 4
(1 x2 )(1 x1 ) = 4 ,即 3 x1 x2 + 5( x1 + x2 ) + 3 = 0 ,…………………12 分 (1 + x1 )(1 + x2 )
2

计算得

所以 3k 10k + 3 = 0 ,解得 k = 3 或 k = 因为

1 , 3

…………………13 分

y2 ( x1 1) 2 1 = , x1 , x2 ∈ (1,1) ,所以 y1 , y2 异号,故舍去 k = , y1 ( x2 + 1) 1 3
…………………14 分

所以 k = 3 .

20,解: , (Ⅰ)因为 a1 = b1 ,所以 a = a + 1 + b , b = 1 , 由 a2 < b2 ,得 a 2a 1 < 0 ,
2

…………………1 分

所以 1 2 < a < 1 + 2 , 因为 a ≥ 2 且 a ∈ N ,所以 a = 2 ,
*

…………………3 分 …………………4 分

所以 bn = 3n 1 , {bn } 是等差数列, 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n =

n 3 1 (b1 + bn ) = n 2 + n . 2 2 2

…………………5 分

(Ⅱ)由已知 bn = 3n + 2 ,假设 3m + 2 ,3n + 2 ,3t + 2 成等比数列,其中 m, n, t ∈ N* , 且彼此不等, 则 (3n + 2) 2 = (3m + 2)(3t + 2) , …………………6 分

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所以 9n + 6 2n + 2 = 9mt + 3 2m + 3 2t + 2 ,
2

所以 3n 3mt = ( m + t 2n) 2 ,
2

若 m + t 2n = 0 ,则 3n 3mt = 0 ,可得 m = t ,与 m ≠ t 矛盾; ………7 分
2

若 m + t 2n ≠ 0 ,则 m + t 2n 为非零整数, (m + t 2n) 2 为无理数, 所以 3n 3mt 为无理数,与 3n 3mt 是整数矛盾.
2 2

…………………9 分

所以数列 {bn } 中的任意三项都不能构成等比数列. (Ⅲ)设存在实数 b ∈ [1, a ] ,使 C = A ∩ B ≠ , 设 m0 ∈ C ,则 m0 ∈ A ,且 m0 ∈ B , 设 m0 = a (t ∈ N ) , m0 = ( a + 1) s + b( s ∈ N ) ,
t * *

则 a t = ( a + 1) s + b ,所以 s =

at b , a +1
t

因为 a, t , s ∈ N* ,且 a ≥ 2 ,所以 a b 能被 a + 1 整除. …………………10 分 (1)当 t = 1 时,因为 b ∈ [1, a ] , a b ∈ [0, a 1] , 所以 s =

ab N* ; a +1

…………………11 分

(2)当 t = 2n( n ∈ N* ) 时,
1 a 2 n b = [(a + 1) 1]2 n b = (a + 1) 2 n + C2 n (a + 1) + 1 b ,

由于 b ∈ [1, a ] ,所以 b 1 ∈ [0, a 1] , 0 ≤ b 1 < a + 1 , 所以,当且仅当 b = 1 时, a b 能被 a + 1 整除.
t

…………………12 分

(3)当 t = 2n + 1( n ∈ N* ) 时,
1 a 2 n +1 b = [(a + 1) 1]2 n +1 b = (a + 1) 2 n +1 + + C2 n +1 (a + 1) 1 b ,

由于 b ∈ [1, a ] ,所以 b + 1 ∈ [2, a + 1] , 所以,当且仅当 b + 1 = a + 1 ,即 b = a 时, a b 能被 a + 1 整除.
t

……13 分

综 上 , 在 区 间 [1, a ] 上 存 在 实 数 b , 使 C = A ∩ B ≠ 成 立 , 且 当 b = 1 时 ,

C = { y y = a 2 n , n ∈ N* } ;当 b = a 时, C = { y y = a 2 n +1 , n ∈ N* } . …………14 分

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