2015年高考数学—山东卷(理科)word版

2015 年普通高等数学招生全国统一考试(山东卷) 理科数学
本试卷分第I卷和第 II 卷两部分,共 4 页。满分 150 分,考试用时 120 分钟。考试结束后,将本 试卷和答题卡一并交回。

注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第 I 卷每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如果改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。 3. 第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使 用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

第I卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

( 1)已知集合 A ? x x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? ?x | 2 ? x ? 4?, 则A ? B ?

?

?

( A)????(1,3)?????( B)????(1,4)????(C )???(2,3)???( D)???(2,4)
(2)若复数 z满足 z ? i, 其中 i为虚数单位,则 z ? 1? i

( A)???? 1 - i?????( B)???? 1 ? i???(C )???? 1 ? i???( D)???? 1 ? i
(3)要得到函数 y ? sin( 4 x ? ( A)??? 向左平移

?
3

)的图象,只要将函数 y ? sin 4 x的图象

?
12

个单位 ????( B)??向右平移

?
12

个单位 ?(C )??? 向左平移

?
3

个单位 ??( D)??向右平移

?
3

个单位

? ? (4)已知菱形 ABCD的边长为a, ?ABC ? 60? , 则向量BD ? CD ?
( A)??? 3 2 3 3 3 a ?????( B)??? a 2 ????(C )??? a 2 ????( D)?? a 2 ? 2 4 4 2

( 5)不等式x ? 1 ? x ? 5 ? 2的解集是
( A)??(??,4)?????( B)??(??,1)?????? (C )???(1,4)???( D)??(1,5)??

?x ? y ? 0 ? (6)已知x, y满足约束条件? x ? y ? 2?,若z ? ax ? y的最大值为4,则a ? ?y ? 0 ?
( A)??3?????? ( B)????2?????? (C)?????? 2?????( D)????? 3??

(7)在梯形ABCD中,?ABC ?

,AD // BC, BC ? 2 AB ? 2, 将梯形ABCD绕AD所在的 2 ?????? 直线旋转一周形成的曲 面所围成的几何体的体 积为
3 4 5 ( A)???? ? ?????( B)??? ? ?????(C )????? ? ????( D)???2? ? 2 3 3

?

(8)已知某批零件的长度 误差(单位:毫米)服 从正态分布N (0,3),从中随机取一件, ?????? 其长度误差在区间( 3,6)内的概率为 ?????? (附:若随机变量 ?服从正态分布N(? , ?),则P( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 68.26%, ?????????? ?????P( ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 95.44%,)
( A)??4.56%?????? ( B)???? 13.59%??????? (C )????27.18%??????? ( D)???31.74%???
2 (9)一条光线从点( ? 2,?3)射出,经 y轴反射与圆( x ? 3) ? ( y ? 2) 2 ? 1相切。则反射

???????? 光线所在直线的斜率为
5 3 3 2 5 4 4 3 ( A)????? 或??? ???( B)??? 或??? ??(C )????? 或??? ????( D)?? 或??? 3 5 2 3 4 5 3 4

?3x ? 1?,???x ? 1 ( 10)设函数f ( x) ? ? x 满足f ( f (a)) ? 2 f ( a ) 的a的取值范围是 x ?1 ?2 ,?????????
?2 ? ?2 ? ( A)????? , ??1??????( B)????0, ??1? ??????? (C )???? , ?? ?????( D)?????1, ??? ??? ?3 ? ?3 ?

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

( 11 )观察下列各式
0 C4 ? 40 1 C 30 ? C 3 ? 41 1 C 50 ? C 5 ? C 52 ? 4 2 0 1 3 C7 ? C7 ? C 72 ? C 7 ? 43 0 1 2 n ?1 就此规律,当n ? N ?时,C 2 _ n ?1 ? C 2 n ?1 ? C 2 n ?1 ? ? ? ? ? C 2 n ?1 ? __________

?? ? ( 12)若?x ? ?0??,?? ?, tan x ? M n 是真命题,则实数 m的最小值为_____ 4? ?
( 13 )执行右边的程序框图 ,输出的T的值为______
开始

n ? 1,?T ? 1


n?3


?T ? T ? ? x n dx
0

1

输出 T

n ? n ?1

结束

?? 1?,?0???, 则a ? b ? _____ ( 14 )已知函数 f ( x) ? a x ? b?(a ? 0, a ? 1)的定义域和值域都是
x2 y2 (15)平面直角坐标系 xoy中,双曲线C1: ?? 2 ? 2 ? 1??(a ? 0, b ? 0)的渐近线与抛物线 a b 2 C 2:x ? 2 py?( p ? 0)交于点O, A, B,若△OAB的垂心为C1的焦点,则C1离心率为______
三 、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分

(16)(本小题满分 12分) 设f ( x) ? sin x cos x ? cos2 ( x ? ???( Ⅰ )求f ( x)的单调区间; A ???(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若f ( ) ? 0, a ? 1, 2 ???????? 求△ABC面积的最大值。
(17)(本小题满分 12分) 如图,在三棱台 DEF ? ABC中,AB ? 2 DE, G, H分别为AC, BC的中点。 ??????? ( Ⅰ )求证:BD // 平面FGH ??????(Ⅱ)若CF ? 平面ABC, AB ? BC, CF ? DE, ?BAC ? 45? , ?????????? 求?平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大 小。

?
4

)

(18)(本小题满分 12分) 设数列??an ? 的前n项和为Sn,已知2Sn ? 3n ? 3 ( Ⅰ )求?an ? 的通项公式 (Ⅱ)若数列?bn ?满足anbn ? log3 an , 求?bn ? 的前n项和Tn .
(19)(本小题满分 12分) 若n是一个三位正整数,且 n的个位数大于十位数字 ,十位数字大于百位数 字,则称n为 “三位递增数”(如 137,359,567等)。 在某次数学趣味活动中 ,每位参加者需从所有 的“三位递增数”中随 机抽取1个数,且 只能抽取一次,得分规 律如下:若抽取的“三 位递增数”的三个数字 之积不能被5整除, 参加者得0分;若能被5整除,但不能被 10整除,的 ? 1分;若能被 10整除,得 1分。 ( Ⅰ )写出所有个位数字是 5的“三位递增数”; (Ⅱ)若甲参加活动,求甲得 分X的分布列和数学期望 EX

(20)(本小题满分 13分) x2 y2 3 平面直角坐标系 xoy中,已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1?(a ? 0, b ? 0)的离心率为 , 左、右焦点分别 2 a b 是F1 , F2 ?,以F1为圆心,3为半径的圆与以 F2为圆心1为半径的圆相交,且交 点在椭圆C上, ( Ⅰ )求椭圆C的方程 x2 y2 (Ⅱ)设椭圆E: 2 ? 2 ? 1, P为椭圆C上任意一点,过点 P的直线y ? kx ? m交椭圆E于A, B两点, 4a 4b 射线PO交椭圆E于点Q。 ⅰ ( )求 OQ OP 的值; (Ⅱ)求△ABQ面积的最大值。

(21)(本小题满分 14分) 设函数f ( x) ? ln(x ? 1) ? a ( x 2 ? x), 其中a ? R ( Ⅰ )讨论函数f ( x)极值点的个数,并说明 理由
ⅡⅡ

(Ⅱ)若?x ? 0, f ( x) ? 0成立,求a的取值范围。


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