高一数学人教A版必修3课件:1.1.1 算法的概念_图文

第一章 算法初步

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1.1

算法与程序框图

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1.1.1

算法的概念

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1.通过二元一次方程组的解法,正确理解算法的概念及算法的程 序与步骤,区分算法与一般具体问题的解法. 2.体会算法的思想,会用自然语言设计简单的算法,并能解决有关 的问题.

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1.算法的概念

12 世纪的算法 用阿拉伯数字进行算术运算的过程 按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步 数学中的算法 骤 通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决 现代算法 问题
名师点拨1.算法没有一个精确化的定义,可以理解为由基本运算 及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤,或者看成按要求设计 好的、有限的、确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决 一类问题. 2.算法与一般意义上具体问题的解法既有联系又有区别,它们之 间是一般与特殊的关系,算法的获取要借助一般意义上具体问题的 求解方法,任何一个具体问题都可以用这类问题的一般算法来解决.

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【做一做1】 下列不能看成算法的是( ) A.洗衣机的使用说明书 B.烹制油焖大虾的菜谱 C.从山东济南乘汽车到北京,再从北京坐飞机到纽约 D.某小学生会做饭 答案:D

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2.算法的特征

特征 有限性 确定性 可行性 有序性

说明 一个算法当运行完有限个步骤后必须结束,而不能无限 地运行 算法的每一步计算,都必须有确定的结果,不能模棱两 可,即算法的每一步只有唯一的执行路径,对于相同的 输入只能得到相同的输出结果 算法中的每一步必须能用实现算法的工具精确表达 ,并 能在有限步内完成 算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步 骤只能有一个确定的后续步骤,只有执行完前一步才能 执行后一步

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特征

说明 算法一般要适用于输入值集合中不同形式的输入值,而 普遍性 不是局限于某些特殊的值,即算法具有一般性,一个算 法总是针对某类问题设计的 解决一个或一类问题,可以有不同的方法和步骤,也就 不唯一性 是说,解决这个或这类问题的算法不一定是唯一的
【做一做2】 下列关于算法的描述正确的是( ) A.算法与求解一个问题的方法相同 B.算法只能解决一个问题,不能重复使用 C.算法过程要一步一步执行,每步执行的操作必须确切 D.解决一类问题的算法只有一个 答案:C

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3.算法的设计 计算机解决任何问题都要依赖于算法,只有将解决问题的过程分 解为若干个明确的步骤,即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确 地描述出来,计算机才能够解决问题. 名师点拨1.写算法有些类似于写解题步骤,首先认真分析问题,找 出解决此问题的一般数学方法,然后借助有关变量、参数对算法加 以表述,最后将解决问题的过程划分为若干步骤,用简练的语言把 各个步骤表示出来. 2.设计算法的要求为:(1)写出的算法必须能解决一类问题,并能重 复使用;(2)要使算法尽量简单,步骤尽量少;(3)算法的步骤要一步一 步执行,每一步执行的操作必须明确,不能含糊,而且在有限的步骤 后能够得出确定的结果.

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【做一做3】 将下面的算法补充完整. 已知一个学生的语文成绩为89分,数学成绩为96分,外语成绩为 99分,求他的总成绩D和平均成绩E的一个算法为: 第一步,取A=89,B=96,C=99. 第二步, . 第三步, . 第四步,输出D,E. 答案:计算总成绩D=A+B+C 计算平均成绩E = 3

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1.理解算法的概念 剖析:(1)算法可以理解为按照一定规则解决某一类问题所构成的 完整的解题步骤,或看成按要求设计好的有限的确切的计算序列, 并且这样的步骤或序列能够解决一类问题. (2)展现方式:算法常用以下方式来表示: 第一步,…… 第二步,…… 第三步,…… …… (3)描述算法可以有不同的方式:文字、图形、符号. (4)算法是机械的,有时要进行大量的重复计算,只要按部就班地 去做,总能算出结果,通常把算法过程称为“数学机械化”,其最大优 点是可以让计算机来完成. (5)求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,可能有不同的 算法.

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2.算法必须按步骤来设计 剖析:计算机和人类解决问题的区别:人类解决问题具有灵活性, 同一个问题针对不同的情况,人类可以采取不同的解决方案.例如, 通过爬梯子到房顶上,若“梯子”的某一节已经损坏了,则人类能想方 设法越过这一节继续爬梯子.若在爬梯子的过程中感觉累了,则人 类就能想到先休息一会儿再上.与人类不同,计算机没有人类的这 种主观能动性.解决问题时,计算机只能一节一节地“爬梯子”,即按 事先设计好的步骤来执行.如果“梯子”的某一节已经损坏了,也就是 某个步骤设计不正确,那么计算机就不再往下执行了.计算机没有 “累”的时候,总是勇往直前地继续下去,因此计算机解决问题的方式 即算法必须有步骤,且这些步骤必须是明确的、有效的,而且能够 在有限步之内完成. 因此在设计算法时,要把人类解决问题的思维方式变为计算机解 决问题的方式,即必须按步骤来解决问题,把所要解决的问题分解 为有限个明确的、有效的步骤来完成,这就是算法.

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算法的概念 【例1】 下列关于算法的理解不正确的是 .(填序号) ①算法有一个共同的特点,就是对一类问题有效(而不是个别问 题); ②算法一般是机械的,有时要进行大量重复的计算; ③任何问题都可以用算法来解决; ④若解决某一具体问题的算法不同,则结果不同. 解析:由算法的普遍性,可知①正确;由算法的可执行性知②正确; 并非所有问题都可以用算法解决,故③不正确;解决某一问题时,算 法可以不同,但结果一定相同,故④不正确. 答案:③④

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反思1.算法实际上是解决问题的一种程序性方法,它通常解决某 一个或一类问题,用算法解决问题,体现了从特殊到一般的数学思 想. 2.判断一个问题是否有算法,关键看是否有解决这一类问题的程 序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限 步之内完成.

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【变式训练1】 给出下列表述: ①求过M(1,2)与N(-3,-4)两点的直线方程可先求直线MN的斜率, 再利用点斜式方程求得;②求以A(2,2),B(2,6),C(4,4)为顶点的△ABC 的面积可先求AB的长a,再求直线AB的方程及点C到AB的距离h,最 1 后利用S = ? 进行计算; ③判断方程2 + + 1 = 0 有无实数根;
2

④植树需要运苗、 挖坑、 栽苗、 浇水这些步骤 . 其中是算法的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:①②④给出了解决问题的方法和步骤,是算法;③只提出问 题,没有给出解决的方法,不是算法. 答案:C

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设计仅含有依次执行步骤的算法 【例2】 已知一个长方体的长、宽、高分别为3,4,5,设计一个算 法求其体积. 分析:利用公式V长方体=长×宽×高写出算法. 解:算法如下: 第一步,输入长方体的长a,宽b,高h. 第二步,计算V=abh. 第三步,输出V. 反思仅含有依次执行步骤的算法是较简单的算法.特别地,若有公 式可以套用,则通常选择公式作为解决问题的算法.

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【变式训练2】 写出求二次函数y=-2x2+4x+1最值的算法. 解:第一步,确定a,b,c的值,a=-2,b=4,c=1.
第二步,代入公式
4 - 2 4

求值,

4 - 2 4

=

4× (-2)×1-42 4× (-2)

= 3.

第三步,判断开口方向,确定最值,由a=-2<0,故y有最大值3. 第四步,输出二次函数的最值.

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设计含有判断条件的算法 2 + 1, > 1, 【例 3】 已知函数 y= 设计一个算法, 输入自变量 - - 1, ≤ 1, 的值, 输出对应的函数值. 分析:因为当x在(-∞,1]和(1,+∞)上时,y有不同的对应法则,所以首 先判断x与1的大小关系. 解:算法如下: 第一步,输入自变量x的值. 第二步,判断x>1是否成立,若成立,则计算y=2x+1;否则计算y=-x1. 第三步,输出y. 反思设计含有判断条件的算法时,往往是先判断条件,再根据条件 是否成立,设计不同的步骤.

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【变式训练3】 结合下面的算法: 第一步,输入x. 第二步,判断x是否小于0.若是,则输出x+2,结束算法;否则执行第 三步. 第三步,输出x-1,结束算法. 当输入x的值为-1,0,1时,输出的结果分别为( ) A.-1,0,1 B.-1,1,0 C.1,-1,0 D.0,-1,1 解析:根据x与0的大小关系,选择执行不同的步骤.当x=-1时,输出 x+2,即输出1;当x=0时,输出x-1,即输出-1;当x=1时,输出x-1,即输出0. 答案:C

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设计含有重复步骤的算法 【例4】 写出求1×2×3×4×5×6的算法. 分析:思路一:采取逐个相乘的方法;思路二:由于重复作乘法,故可 以设计作重复乘法运算的步骤. 算法1:第一步,计算1×2得到2. 第二步,将第一步的运算结果2乘3,得到6. 第三步,将第二步的运算结果6乘4,得到24. 第四步,将第三步的运算结果24乘5,得到120. 第五步,将第四步的运算结果120乘6,得到720.

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算法2:第一步,输入n的值6. 第二步,令i=1,S=1. 第三步,判断“i≤n”是否成立,若不成立,则输出S,结束算法;若成立, 则执行下一步. 第四步,令S的值乘i,仍用S表示,令i的值增加1,仍用i表示,返回第 三步. 反思若算法问题里涉及的运算进行多次重复的操作,且先后参与 运算的各数之间有相同的变化规律,则可以引入变量(称之为循环 变量)参与运算.

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【变式训练4】 写出求1至1 000的正整数中3的倍数的一个算法 (打印结果). 解:第一步,令i=1. 第二步,i被3除,得余数r. 第三步,若r=0,则打印i,否则不打印. 第四步,令i=i+1. 第五步,若i≤1 000,则返回第二步继续执行,否则结束算法.


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