三角函数及答案

1

3.1

三角函数的概念

例 1.写出与-60° 终边相同的角的集合 S,并把 S 中满足-2??≤α≤4??的元素 α 写出来. 分析:先把角转化成弧度制,然后写出与其终边相同角的集合. 解:因为 ? 60 ? ?
o

π π ,所以 S ? {? | ? ? 2kπ ? , k ? Z}, 3 3
π 5π 11π , , ? 3 3 3

S 中满足-2π≤α≤4π 的元素有 ?

1 ,求 sinα,tanα. 2 分析:已知一个角的一个函数值,可以利用三角函数定义求其它三角函数值,也可以利用同角关 系直接求得. 解:因为 P(x,1)在角 α 的终边上,所以,
例 2.已知角 α 终边上有一点 P(x,1),且 cos? ?

r ? x 2 ? 4 , cos ? ?

x x2 ? 1

?

1 , 2

解得 x ? ?

3 3 3 , 又因为 x>0,所以 x ? , 所以 sin ? ? , tan? ? 3. 3 3 2

小结:知道一个角某个三角函数值,求其它的函数值,是三角函数求值问题中典型问题之一. 例 3.求函数 f ( x) ? sin x ? 解:因为 sin x ? 当 sin x ?
1 的定义域. 2

1 1 ? 0 ,所以 sin x ? , 2 2

5π 1 π , k ? Z, 利用三角形函数线得到, 时, x ? 2kπ ? 或 x ? 2kπ ? 6 2 6 π 5π x ? [2kπ ? ,2kπ ? ], k ? Z. 6 6

例 4.已知 α∈(0,??),比较 sin

?
2

, tan

?
2

的大小.

分析:比较不同三角函数值的大小,可以充分利用三角函数线. 解:因为 α∈(0,π),所以 切线 AT,因为 S△OAP<S△OAT, 所以

?

π ? ? (0, ) ,如图 3-1-2,在单位圆中,作出 的正弦线 MP 和正 2 2 2

1 1 ? | OA | ? | MP |? ? | OA | ? | AT |, 2 2
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2

即|MP|<|AT|,所以 sin

?
2

? tan

?
2

?

小结:例 3 和例 4 都是三角形函数线的应用,其中例 4 还可以利用比较法来解决,实际上有

π x ? (0, ) 时,sinx<x<tanx. 2

3.2

同角三角函数关系及诱导公式

例 1.已知 tanx=2,求 sinx,cosx 的值. 分析:知道一个角某个三角函数值,求其它函数值,方程思想是通法. 解:因为 tan x ?

sin x ? 2 ,又 sin2x+cos2x=1, cos x

?sin x ? 2 cos x 联立得 ? 2 , 2 ?sin x ? cos x ? 1

? 2 5 ? 2 5 ?sin x ? ?sin x ? ? ? ? 5 5 解这个方程组得 ? ,? . 5 ? 5 ? cos x ? cos x ? ? ? 5 ? 5 ? ?
例 2.求

tan(?120? ) cos(210? ) sin(?480? ) tan(?690? ) sin(?150? ) cos(330? )

的值.

?

tan(?120? ? 180? ) cos(180? ? 30? ) sin(?360? ? 120? ) tan(?720? ? 30o ) sin(?150? ) cos(360? ? 30? )
tan 60? (? cos 30? )(? sin120? ) ? ?3 3. tan 30? (? sin150? ) cos 30?

?

例 3.若

sin x ? cos x ? 2, ,求 sinxcosx 的值. sin x ? cos x

分析:这种代数式求值,可以利用方程组的思想,求出每个函数值,也可以利用 sinx± cosx 与 sinxcosx 的关系,整体求值.

sin x ? cos x ? 2, sin x ? cos x 所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx), 得到 sinx=-3cosx,又 sin2x+cos2x=1,联立方程组,解得
解:法一:因为

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2

3

? 3 10 ? 3 10 ?sin x ? 10 ? ?sin x ? ? 10 ? , , ? ? 10 ? 10 ? cos x ? ? cos x ? ? 10 ? 10 ? ?

3 ? 10 sin x ? cos x ? 2, 法二:因为 sin x ? cos x
所以 sin x cos x ? ? 所以 sinx-cosx=2(sinx+cosx), 所以(sinx-cosx)2=4(sinx+cosx)2, 所以 1-2sinxcosx=4+8sinxcosx, 所以有 sin x cos x ? ?

3 ? 10

小结:这两种方法中,第一种是通法,第二种利用了整体求值 例 4.求证:tan2x· sin2x=tan2x-sin2x. 分析:这种证明问题,可以从左边开始变形,向右边看齐,也可以反过来,还有的时候是两边同 时变形.在变形的时候,要注意公式的正确使用,同时要时刻注意目标是什么. 证明:法一:右边=tan2x-sin2x=tan2x-(tan2x· cos2x)=tan2x(1-cos2x)=tan2x· sin2x,问题得证. 法二:左边=tan2x· sin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2x· cos2x=tan2x-sin2x,问题得证.

3.3

三角函数的图象与性质(一)

(一)复习指导 1.能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2??]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与 x 轴交点 等) 3.理解正切函数在区间 ( ? (二)解题方法指导 函数 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 增区间 减区间 对称轴 对称中心 增区间 减区间 对称轴 对称中心 增区间 减区间 对称轴 对称中心 正弦函数 余弦函数 正切函数

π π , ) 的单调性. 2 2

例 1.用五点法画出函数 y ? sin( x ? 心.

π ) 草图,并求出函数的周期,单调区间,对称轴,对称中 3

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3

4

1 解:

x?
x y

π 3

0

π 2
π 6
1

π

3π 2



?

π 3

2π 3
0

7π 6
-1

5π 3
0

0

周期为 T=2π,

5π π ,2kπ ? ), k ? Z, 6 6 π 7π ), k ? Z, 单调减区间为 (2kπ ? ,2kπ ? 6 6 π 对称轴为 x ? kπ ? , k ? Z, 6 π 对称中心为 ( kπ ? ,0), k ? Z. 3
单调增区间为 (2kπ ? 小结:画图的时候,要注意五个点的选取. 例 2.求函数 y ? 2 sin(

x π ? ) 在区间[0,2??]上的值域. 2 6

分析:在求这样函数值域的时候,最好是把括号中与 x 有关的代数式的取值范围求出来,然后利 用三角函数图象求其值域. 解:因为 0≤x≤2π,所以 0 ?

x π x π 7π ? π, ? ? ? , 由正弦函数的图象, 2 6 2 6 6

x π 1 得到 sin( ? ) ?[? ,1], 2 6 2 所以 y∈[-1,2]. 例 3.求下列函数的值域. (1)y=sin2x-cosx+2; y=sin2x-cosx+2=1-cos2x-cosx+2=-(cos2x+cosx)+3,
令 t=cosx,则 t ? [?1,1], y ? ?(t 利用二次函数的图象得到 y ? [1, (2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx). y=2sinxcosx-(sinx+cosx)=(sinx+cosx)2-1-(sinx+cosx),令 t=sinx+cosx ? 则 t ? [? 2 , 2 ] 则, y ? t ? t ? 1,
2
2

1 13 1 13 ? t ) ? 3 ? ?(t ? ) 2 ? ? ?(t ? ) 2 ? , 2 4 2 4

13 ]. 4 π 2 , sin( x ? ) , 4

利用二次函数的图象得到 y ? [?

5 ,1 ? 2 ]. 4
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5

小结:利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式,利用图象,求其值域,要注意转化 后自变量的取值范围. 例 4.求函数 y ?

1 ? sin x 的值域. 3 ? cos x

设 A(3,1),P(cosx,sinx), 把 y 看成定点 A 与动点 P 所在直线的斜率, 因为动点 P(cosx,sinx)在单位圆上, 所以只要求经过点 A(3,1)与单位圆相切的两条直线的斜率, 两条切线的斜率分别为 0 和 所以 y ? [0, ].

3 , 4

3 4

3.4

三角函数的图象与性质(二)

(一)复习指导 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数 图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. (二)解题方法指导 例 1.在同一个坐标系中,用五点法画出下列函数的草图. (1) y ? sin x, y ? sin( x ? (1) x y 0 0

π ); 3
π 2
1 π 0

3π 2
-1

2π 0

x?
x y

π 3

0

π 2
π 6
1

π

3π 2



?

π 3

2π 3
0

7π 6
-1

5π 3
0

0

(2) y ? sin 2 x, y ? sin( 2 x ? (2)

π ). 3

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5

6

2x x y

0 0 0

π 2
π 4
1

π

3π 2
3π 4
-1

2π π 0

π 2
0

2x ?
x y

π 3

0

π 2 π 12
1

π

3π 2



?

π 6

π 3
0

7π 12
-1

5π 6
0

0

例 2.已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

π ) ,该函数的图象可以由 y=sinx 的图象经过怎样的平移和伸缩 6

变换得到. 解:法一:将函数 y=sinx 依次作如下变换: (1)把函数 y=sinx 的图象向左平移

π π 个单位,得到函数 y ? sin(x ? ) 的图象; 6 6

1 π (2) 把函数 y ? sin(x ? ) 图象上各点的横坐标缩小到原来的 ,纵坐标保持不变,得到函数 6 2 π y ? sin(2 x ? ) 的图象. 6 法二:将函数 y=sinx 依次作如下变换:
(1)把函数 y=sinx 的图象上各点的横坐标缩小到原来的 的图象. (2)把函数 y=sin2x 向左平移

1 ,纵坐标保持不变,得到函数 y=sin2x 2

π π π 个单位,得到函数 y ? sin 2( x ? ) ,即 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 12 12 6 小结:在进行图象变换的时候,应注意平移变换和压缩变换的顺序,顺序不一样,则平移的单位 π π π 个单位,得到函数 y ? sin 2( x ? ) ,即 y ? sin( 2 x ? ) 的图象. 12 12 6

不一样.如 y=sin2x 的图象向左平移

例 3.若函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为 (2, 2 ) ,它到其相邻的最低点 之间的图象与 x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式. 分析:这样的问题,首先要清楚几个参数 A,ω,φ 对函数图象的影响,可以画出一个草图来分 析问题. 解:由最高点为 (2, 2 ) ,得到 A ? 2 ,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与 x 轴交点的间

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6

7

隔是

T 1 π 个周期,这样求得 ? 4 ,T=16,所以 ? ? ? 8 4 4 π π π π 又由 2 ? 2 sin( ? 2 ? ? ) ,得到可以取 ? ? .? y ? 2 sin( x ? ). 8 4 8 4
例 4.已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? [0, ], 求 f(x)的最大值、最小值.

π 2

分析:这个函数的解析式比较复杂,我们先对其进行化简,这包括减少函数名称,降低次数,然 后再求相应的问题. 解:(Ⅰ)因为 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x

π π ? (cos2 x ? sin2 x) ? sin 2x ? cos 2x ? sin 2x ? 2 sin( ? 2x) ? ? 2 sin(2x ? ) 4 4 所以最小正周期为 π.
π 3π π π 3π π (Ⅱ)若 x ? [0, ] , 则 (2 x ? ) ? [? , ] , 所以当 x=0 时, f(x)取最大值为 ? 2 sin(? ) ? 1; 当 x ? 2 8 4 4 4 4
时,f(x)取最小值为 ? 2.

3.5

和、差、倍角的三角函数(一)

(一)复习指导 1.掌握两角差的余弦公式,能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、 正切公式,了解它们的内在联系. 3.能用上述公式解决一些化简和求值问题. (二)解题方法指导 例 1.若 (A) 5

π 1 ? tan x ? 5 ,则 tan( x ? ) 的值为 1 ? tan x 4
(B) ? 5 (C)

(

) (D) ?

5 5

5 5

π ? tan x π 1 1 1 ? tan x π 4 ? , 解: ? ? tan( ? x) ? 5 ,所以 tan( ? x) ? π 4 1 ? tan x 1 ? tan π tan x 4 5 tan( ? x) 4 4 tan
选 C. 小结:本题还可以 tanx 把的值求出来,然后使用两角和的正切公式求值. 例 2. (sin x ? cos x) ? 2 sin (
2 2

π ? x) ? ____________. 4

π 解: (sin x ? cos x) 2 ? 2 sin2 ( ? x) 4

π ? 1 ? sin 2x ? 1 ? cos 2( ? x) ? 1 ? sin 2x ? 1 ? sin 2x ? 2. 4
例 3.已知 tan(

sin 2 x ? 2 cos2 x π 1 ? x ) ? .求 的值. 4 2 1 ? cos2 x

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7

8

1 π 1 ? tan x 1 因为 tan( ? x) ? ? ,所以 tan x ? ? , 4 1 ? tan x 2 3 2 sin 2 x ? 2 cos x 2 sin x cos x ? 2 cos 2 x 4 ? ? tan x ? 1 ? ? ? 2 1 ? cos 2 x 3 2 cos x 小结: 在求值问题中, 应该先对代数式进行化简, 在化简的过程中分析如何利用条件推导出结果.

3.6

和、差、倍角的三角函数(二)

(一)复习指导 1.能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值. 2.掌握 Asinx+Bcosx 型代数式变形方法. (二)解题方法指导 例 1.已知 cos ? ? ?

4 π π , ? ? ( , π) ,则 cos( ? ? ) ? ( 5 2 4
(B) ?

).

(A)

2 10

2 10

(C) ?

7 2 10

(D)

7 2 10

3 4 π 解:因为 cos? ? ? ,? ? ( , π) ,所以 sin ? ? , 5 2 5
2 π π π , 所以选 B. 又 cos( ? ? ) ? cos cos? ? sin sin? ,代入求得结果为 ? 10 4 4 4
例 2. f ( x) ? cos 2x ? 2 3 sin x cos x 的最小值为____.

π 解:因为 f ( x) ? cos 2x ? 2 3 sin x cos x ? cos x ? 3 sin 2x ? 2 sin( ? 2x) ,所以其最小值为-2. 6
例 3.已知: 0 ? x ?

5 π 3 π , cos x ? ,且 ? y ? π ,且 sin( x ? y ) ? ,求 cosy 的值. 2 5 2 13

分析:在知值求值问题中,要注意角之间的关系. 解:因为 0 ? x ?

π 3 , cos x ? , 2 5 4 ? 5

则 sin x ? 1 ? cos2 x ? 因为 0 ? x ?

π π π 3π , ? y ? π ,所以 ? x ? y ? , 2 2 2 2

所以 cos( x ? y ) ? ?

12 , 13

所以 cosy=cos[(x+y)-x]=cos(x+y)cosx+sin(x+y)sinx

??

12 3 5 4 16 ? ? ? ?? 13 5 13 5 65

例 4.已知 0 ? ? ?

π 3 4 ? ? ? π, sin ? ? , cos(? ? ? ) ? ? ,求 sinβ. 2 5 5
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?

9

解:因为 0 ? ? ? 所以

π ? ? ? π, 2

π 3π ?? ? ? ? , 2 2

4 3 3 ,所以 sin(? ? ? ) ? ? ,或 sin(? ? ? ) ? , 5 5 5 3 3 若 sin(? ? ? ) ? ? ,则由 sin ? ? ,得到 β=π,矛盾, 5 5 3 所以 sin(? ? ? ) ? , 5
又 cos( ? ? ? ) ? ? 所以 sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin? ?

24 ? 25

3.7

正弦定理和余弦定理

(一)复习指导 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. (二)解题方法指导 例 1.在△ABC 中,a∶b∶c=3∶5∶7,则其最大角为____.

2π 1 解:因为三条边中 c 边最大,则角 C 最大,根据余弦定理, cos C ? ? ,所以 C ? ? 3 2 例 2.在△ABC 中,有 acosA=bcosB,判断△ABC 的形状. 由正弦定理, a=2RsinA, b=2RsinB, 代入有 2RsinAcosA=2RsinBcosB, 即 sin2A=sin2B, 所以 2A=2B
或 2A=π-2B.即 A=B 或 A ? B ?

π ,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 2

例 3.在△ABC 中,∠A=60° ,面积为 10 3 ,周长为 20,求三条边的长.

1 解:因为 S ?ABC ? bc sin A ? 10 3 ,所以 bc=40,又 a+b+c=20,a2=b2+c2-2bccosA,解得三 2 条边为 5,7,8.
例 4.在一条河的对岸有两个目标物 A,B,但不能到达.在岸边选取相距 2 3 里的 C,D 两点, 并测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,且 A,B,C,D 在同一个平面内,求 A, B 之间的距离. 分析:在很多实际测量问题中,都离不开解三角形,根据相关条件画一张比较清晰的直观图,可 以帮我们找到解题的思路. 要求 AB,可以把 AB 放到一个三角形中,看看这个三角形中还有哪些条件,然后可以根据正余 弦定理求值. 解:中△ACD 中,∠ACD=120° ,∠ADC=30° 所以∠DAC=30° ,所以|AC|=|CD|=2 3 , 在△BCD 中,∠BCD=45° ,∠CDB=75° , 所以∠CBD=60° ,由正弦定理 ,

| BC | | CD | ? , o sin 75 sin 60 o

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9

10

所以 | BC |?

| CD | sin 75o ? 6 ? 2, sin 60o

在△ABC 中,∠BCA=75° , 2 根据余弦定理,|AB| =|AC|2+|BC|2-2|AC|·|BC|·cos75° ,求得 |AB|2=20, | AB |? 2 5 ?

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