2009圆锥曲线(理科)高考题精选(答案)

付国教案

圆锥曲线高考题精选

答案

y 2 x2 1(2009 浙江理) (本题满分 15 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 a b
的焦点且垂直长轴的弦长为 1 . (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h (h ? R) 上, C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M , N .当线 段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

?b ? 1 ?a ? 2 y2 ? 2 解析: (I)由题意得 ? b ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1, 4 ?2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(II)不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P(t , t 2 ? h), 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y?

x ?t

? 2t ,直线

MN 的方程为 y ? 2tx ? t 2 ? h ,将上式代入椭圆 C1 的方程中,得 4 x2 ? (2tx ? t 2 ? h)2 ? 4 ? 0 ,即

4 ?1 ? t 2 ? x 2 ? 4t (t 2 ? h) x ? (t2 ? h)2 ? 4 ? 0,因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点,所以有
4 2 2 ?1 ? 16 ? ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4? ? ? 0,

设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 ? 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4 ,则 x4 ?

x1 ? x2 t (t 2 ? h) , ? 2 2(1 ? t 2 )

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

t ?1 2 ,由题意得 x3 ? x4 ,即有 t ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 ,其中的 2

?2 ? (1 ? h)2 ? 4 ? 0,?h ? 1 或 h ? ?3 ;
4 2 2 2 当 h ? ?3 时有 h ? 2 ? 0, 4 ? h ? 0 ,因此不等式 ?1 ? 16 ? ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? ? 0 不成立;因

t ?? 1 此 h ? 1 , 当 h ? 1 时 代 入 方 程 t 2 ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 得 t ? ?1 , 将 h ? 1 , 代入不等式
4 2 2 ?1 ? 16 ? ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? ? 0 成立,因此 h 的最小值为 1.

2.(2009 北京理) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 a b 3
2 2

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交 于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.

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【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c c ? ? 3 ? ?a
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 2

(Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上, 圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ? 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0, 由? 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x0 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0
2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2,
2 2 2 2 ? 4 3x0 ? 4 8 ? 2 x0 ?0, ∴ 3x0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 16 x0

?

??

?

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ?
2 4 x0 8 ? 2 x0 , , x x ? 1 2 2 2 3x0 ?4 3x0 ?4

∵ cos ?AOB ?

OA ? OB OA ? OB

,且

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ?

1 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , 2 ? y0

? x1 x2 ?

1 2 ?4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? 2 ? ? 2 ? x0

2 2 2 2 x0 8 ? 2 x0 ? ?? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? 2 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 3x0 ?4 3x0 ?4 ? ? ? ?

??

2 2 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? ? 0. 2 2 3x0 ? 4 3x0 ?4

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付国教案

? ∴ ?AOB 的大小为 90 .

【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1. (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上, 圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ?2得 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

? 3x ? 3x
2 0

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ?0

① ②

2 ? 4 ? y 2 ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ?0

2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2,
2 ∴ 3x0 ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? ,
2 2 8 ? 2 x0 2 x0 ?8 , , y y ? 1 2 2 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4

则 x1 x2 ?

? ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴ ?AOB 的大小为 90 .

2 2 2 2 2 (∵ x0 ? 2,0 ? y0 ? 2 ,从而当 3x0 ? 4 ? 0 时,方 ? y0 ? 2 且 x0 y0 ? 0 ,∴ 0 ? x0

程①和方程②的判别式均大于零). 3.(2009 山东卷理)(本小题满分 14 分)

x2 y 2 设椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a b
(I)求椭圆 E 的方程; (II) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ? 若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。 解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4

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( 2 )假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且

? y ? kx ? m ? 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 , 即 OA ? OB , 设该圆的切线方程为 y ? kx ? m解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

w.w. w. k.s.5. u.c.o.m

则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

要使 OA ? OB, 需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 , 所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 所以 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

k2 ?

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 6 2 6 2 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 所以 ? 2 , 所以 m ? , 即 m ? 或m?? , 3 8 3 3 ? 3m ? 8

x 因 为 直 线 y? k?

m 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为
8 m2 8 2 6 2 2 ? ,r? , 所求的圆为 x ? y ? , 此时圆的切线 2 3m ? 8 3 3 3 1? 8

r?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 2 6 2 6 或m? ? ,而当切线的斜率不存在时切线为 x ? ? 与椭圆 3 3 3

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在圆心在 8 4 3 3 3 3
原点的圆 x ? y ?
2 2

8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB . 3

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 2 m ? 8 ? xx ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (?
2 2

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2

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| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1
32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

①当 k ? 0 时 | AB |?

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k
所以

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12, 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 6 . 3

4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

当 k ? 0 时, | AB |?

② 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 ( 综上, |AB |的取值范围为

2 6 2 6 2 6 2 6 4 6 , ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 | AB |? 3 3 3 3 3

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关 系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程 的根与系数关系. 4.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分) 已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) ,且 xA ? xB .记曲
2

线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D .设点 P( s, t ) 是 L 上 的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25 1 5 2 解: (1)联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,设线段 PQ 的中点 M 坐 2 2 1 5 ?s ?t 1 5 2 2 标为 ( x, y ) ,则 x ? ,即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在曲线 C 上, ,y ? 2 2 2 2
(2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

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5 1 11 ? (2 x ? ) 2 化简可得 y ? x 2 ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和点 B 重合, 2 2 8 1 11 1 5 1 5 2 则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? ,∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ? ( ? ? x ? ). 2 8 4 4 4 4 y
∴ 2y ? xB xA D

o

x
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

(2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

51 ?0, 25

即圆 E : ( x ? a ) ? ( y ? 2) ?
2 2

49 7 ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r ? 25 5 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共点; 由图可知,当 0 ? a ? 2 时,曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共点,只需圆心 E 到直 当 a ? 0 时,要使曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25

线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 7 2 ,得 ? . ? a ? 0 ,则 a 的最小值为 ? 5 5 5

9.(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的 斜率为定值,并求出这个定值。 解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

3 2

1 9 3 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
……………4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3
3 x2 y 2 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2
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yE ? kxE ?

3 ?k 2

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
……12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

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