2010年北京西城区高考一模试题解析数学理科(人教B版)

北京市西城区 2010 年抽样测试 高三数学试卷(理科)
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 5 页,共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题纸一并交 回.

第 I 卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. (西城·理·题 1) 1.设集合 P ? { x | x ? 1} , Q ? { x | x 2 ? x ? 0} ,则下列结论正确的是( A. P ? Q 【解析】 C;
P ? (1 , ? ? )



B. P ? Q ? R

C. P ? Q

D. Q ? P

, Q ? ( ?? , 0) ? (1 , ? ? ) .

(西城·理·题 2) 2.函数 y ? sin x ? cos x 的最小值和最小正周期分别是( A. ? 2 , 2 π 【解析】 A;
y ? π? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?

) D. ? 2 , π

B. ? 2 , 2 π

C. ? 2 , π



(西城·理·题 3) 3.设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 2 A.10 B.12 【解析】 C;
a 2 ? a 4 ? 6 ? 2 a3 ? a4 ? 6

,则 S 5 等于(



C.15 ,于是 a 3

D.30
? 3 , S 5 ? 5 a3 ? 1 5



(西城·理·题 4) 4.甲乙两名运动员在某项测试中的 8 次成绩如茎叶图所示, x 1 , x 2 分别表示甲乙两名运动员这项 测试成绩的平均数, s1 , s 2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有( A. x 1 ? x 2 , s1 ? s 2
甲 9 8 6 5 5 4 2 1 0 1 2 7 3 2



B. x 1 ? x 2 , s1 ? s 2
乙 8 5 5 7 3

C. x 1 ? x 2 , s1 ? s 2

D. x 1 ? x 2 , s1 ? s 2

【解析】 B;

x1 ? 1 5 ? x 2

, s1

?

1 8

(7 ? 6 ? 1 ? 1 ? 6 ? 7 ) ? s 2 ?
2 2 2 2 2 2

1 8

(8 ? 7 ? 2 ? 2 ? 7 ? 8 )
2 2 2 2 2 2



(西城·理·题 5) 5. 阅读右面的程序框图, 运行相应的程序, 输出的结果为 ( A.
13 21

开始



x=1, y=1 z = x+y z<20 否 输出 y x

B.

21 13

C.

8 13

D.

13 8

【解析】 D;
x ? 1 , y ? 1 , z ? 2 ? 20

; x ? 1 , y ? 2 , z ? 3 ? 20 ; ? ,
13 8

是 x=y y=z

x ? 8 , y ? 13 , z ? 21 ? 20 ,故输出



结束

(西城·理·题 6) 6.某会议室第一排共有 8 个座位,现有 3 人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法种数 为( ) A. 1 2 B.16 C.24 D.32 【解析】 C; 将三个人插入五个空位中间的四个空档中,有 A 3 ? 2 4 种排法. 4 (西城·理·题 7)
? y ≤ x ? 1? ? y ≤ ? | x | ? 1? ? ? 7.已知平面区域 ? ? { ( x , y ) ? y ≥ 0 ? , M ? { ( x , y ) ? ? ?y≥ 0 ? ?x ≤ 1 ? ? ?

,向区域 ? 内随机投一点 P ,

点 P 落在区域 M 内的概率为( A.
1 4

) C.
1 2

B.

1 3

D.

2 3

【解析】 C; 如图,阴影部分大的等腰直角三角形区域为 ? ,小的等腰直角三角形区域为 M ,由面积比 知P ?
y
1 2



1 -1 O 1 x

(西城·理·题 8) 8.如图,平面 ?
?

平面 ? , ? ? ? =直线 l , A , C 是 ? 内不同的两点, B , D 是 ? 内不同的两点, )

且 A , B , C , D ? 直线 l , M , N 分别是线段 A B , C D 的中点.下列判断正确的是( A.当 | C D | ? 2 | AB | 时, M , N 两点不可能重合

B. M , N 两点可能重合,但此时直线 A C 与 l 不可能相交 C.当 A B 与 C D 相交,直线 A C 平行于 l 时,直线 B D 可以与 l 相交 D.当 A B , C D 是异面直线时,直线 M N 可能与 l 平行
?

?
C A M B D N l

【解析】 B; 若 M , N 两点重合, A M ? M B , C M ? M D 知 A C ∥ B D , 由 从而 A C ∥ 平面 ? , 故有 A C ∥ l , 故 B 正确.

第 II 卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (西城·理·题 9) 9.若 ( a ? 2i)i ? b ? i ,其中 a , b ? R , i 为虚数单位,则 a ? b ? 【解析】 3;
2 ? ai ? b ? i ? a ? 1, b ? 2





(西城·理·题 10) 10.已知 | a |? 2 , | b |? 3 , a , b 的夹角为 60° ,则 | 2 a ? b |? 【解析】
13

?

?

?

?

?

?




2

? ? ? 2 (2 a ? b ) ? 4 a

? ? ? ? 4 a ? b co s 6 0 ? ? b

2

? 13



(西城·理·题 11) 11.将极坐标方程 ? ? 2 co s ? 化成直角坐标方程为 【解析】 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ;
? ? 2 ? cos ? ? x ? y ? 2 x .
2 2 2



(西城·理·题 12) 12.如图, P C 切 ? O 于点 C ,割线 P A B 经过圆心 O ,弦 C D PA ? 2 , 则 PC ? . OE ? .
C

? AB

于点 E .已知 ?

O

的半径为 3,

B

O

E D

A

P

【解析】 4 ,
PC
CO

9 5
2


? P A ? P B ? 2 ? (2 ? 6) ? 16 ? P C ? 4
? OE ? OP ? PE ? 3
2

;连结

OC

,知

O C?

P C,

于是

PO ? 5



2

2?3

?

9 5



C

B

O

E D

A

P

(西城·理·题 13) 13.已知双曲线 x 2 ? 值为 . 【解析】 ? 2 ;
A1 ( ? 1 , 0) , F2 (2 , 0)

y

2

3

? 1 的左顶点为 A1 ,右焦点为 F 2

, P 为双曲线右支上一点,则 P A1 ? P F2 最小

???? ???? ?

,设 P (x , y )( x ≥ 1 )
2 2

, P A1 ? P F2 ? ( ? 1 ? x , y ) ? (2 ? x , y ) ? x 2 ? x ? 2 ? y 2 ,

???? ???? ?

又 x2 ?

y

2

? 1 ,故 y ? 3( x ? 1) ,
1? 1 ? 2 ? 4x ? x ? 5 ? 4? x ? ? ? 5 ? 8? 16 ?
2

3

于是 P A1 ? P F2 (西城·理·题 14)

???? ???? ?

,当 x

? 1 时,取到最小值 ? 2



14.设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M ( M ? D ) ,有 x ? l ? D ,且
f ( x ? l ) ≥ f ( x ) ,则称 f ( x )

为 M 上的 l 高调函数.

如果定义域为 [ ? 1, ? ? ) 的函数 f ( x ) ? x 2 为 [ ? 1 , ? ? ) 上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范 围 是 .
0

如果定义域为 R 的函数 f ( x ) 是奇函数,当 x ≥ 数,那么实数 a 的取值范围是 【解析】 [ 2 , ? ? ) ; [ ? 1 , 1] ;
f ( x ) ? x ( x ≥ ? 1)
2

时, f ( x ) ? | x ? a 2 | ? a 2 ,且 f ( x ) 为 R 上的 4 高调函



的图象如下图左所示, 要使得 f ( ? 1 ? m ) ≥ f ( ? 1) ? 1 , m ≥ 有
2

2

x ;≥

? 1 时,

恒有 f ( x ? 2 ) ≥ f ( x ) ,故 m ≥ 由 f ( x ) 为奇函数及 x ≥
0

即可;

时的解析式知 f ( x ) 的图象如下图右所示,

2 ) ∵ f (3 a 2 ) ? a 2 ? f ( ? a 2 ) , 由 f ( ? a2 ? 4 )≥ f (? a2 ) ? a2 ? f ( 3 a , 故 ? a 2 + 4 ≥ 3 a 2 , 从 而

a ≤ 1 ,又 a ≤ 1 时,恒有 f ( x ? 4 ) ≥ f ( x ) ,故 a ≤ 1 即可.
2 2 2

y y a2 a2 -1 O 1 x -a2 O -a2 x

三、解答题:本大题共 6 小题, 共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (西城·理·题 15) 15. (本小题 满分 12 分) 已知 ? 为锐角,且 tan ? ⑴求 tan ? 的值; ⑵求
sin 2 ? co s ? ? sin ? co s 2 ?



? ?? ?? 2 ?4 ?



的值. , ,所以 tan ?
?
1 3

【解析】 ⑴ tan ? 所以 ⑵

? 1 ? tan ? ?? ?? ?4 ? 1 ? tan ? ?π

1 ? tan ? 1 ? tan ?

? 2 , 1 ? tan ? ? 2 ? 2 tan ?
2

?


2

sin 2 ? co s ? ? sin ? co s 2 ?
? 1 3

?

2 sin ? co s ? ? sin ? co s 2 ?
? 3 sin ?

sin ? ( 2 co s ? ? 1) co s 2 ?

?

sin ? co s 2 ? co s 2 ?

? sin ?



因为 tan ? 所以 sin 2 ?

,所以 cos ?
1

,又 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ,

?


10 10

10

又 ? 为锐角,所以 sin ?
sin 2 ? co s ? ? sin ? co s 2 ?

?



所以

?

10 10



(西城·理·题 16) 16. (本小题满分 13) 在一个选拔项目中,每个选手都需要进行 4 轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者 进入下一轮 考核,否则被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
5 6

、 、 、 ,
5 4

4

3

1

3

且各 轮问题能否正确回答互不影响. ⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; ⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率; ⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望. 【解析】 设事件 Ai ( i ? 1 , 由已知 P ( A1 ) ?
2 , 3 , 4) 表示“该选手能正确回答第 i
5 6 , P ( A2 ) ? 4 5 , P ( A3 ) ? 3 4 , P ( A4 ) ? 1 3

轮问题”,



⑴设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”, 则 P ( B ) ? P ( A1 A2 A 3 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A 3 )
? 5 6 ? 3? 1 ? ? ?1 ? ? ? 5 ? 4? 6 4



⑵设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”, 则 P ( C ) ? P ( A 1 ? A1 A 2 ? A1 A2 A 3 )

? P ( A 1 ) ? P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 A2 A 3 ) ?

1 6

?

5 6

?

1 5

?

5 6

?

4 5

? (1 ?

3 4

)?

1 2



⑶ X 的可能取值为 1,2,3,4,
P ( X ? 1) ? P ( A 1 ) ? 1 6 P ( X ? 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ? 5 6 ? (1 ? 4 5 )? 1 6

, ,
)? 1 6

P ( X ? 3) ? P ( A1 A 2 A 3 ) ?
P ( X ? 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 ) ?

5 6
5 6

?
?

4 5
4 5

? (1 ?
? 3 4 ?

3 4
1 2





所以, X 的分布列为 1 X
P
E(X ) ? 1? 1 6 ? 2? 1 6 1 6 ? 3? 1 6 ? 4?

2
1 6 1 2 ? 3.

3
1 6

4
1 2

(西城·理·题 17) 17. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? A B C D 中,侧面 PC D ? 底面 A B C D , P D ? C D , E 为 P C 中点,底面 A B C D 是直角梯 形, A B ∥ C D , ? A D C =90° A B ? A D ? P D ? 1 , C D ? 2 . , B E ∥ 平面 P A D ; ⑴求证: ⑵求证: B C ? 平面 P B D ; ⑶设 Q 为侧棱 P C 上一点, P Q ? ? P C ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? B D ? P 为 45° .
P E D C
???? ????

A

B

【解析】 ⑴取 P D 的中点 F ,连结 E F , A F , 因为 E 为 P C 中点,所以 E F ∥ C D ,且 E F
? 1 2 C D ? 1,

在梯形 A B C D 中, A B ∥ C D , A B ? 1 , 所以 E F ∥ A B , EF ? AB ,四边形 A B E F 为平行四边形, 所以 B E ∥ A F , B E ? 平面 P A D , A F ? 平面 P A D , 所以 B E ∥ 平面 P A D . ⑵平面 PC D ? 底面 A B C D , P D ? C D ,所以 P D ? 平面 A B C D ,所以 P D ? A D . 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A (1 , 0 , 0) , B (1 , 1 , 0 ) , C (0 , 2 , 0 ) , P (0 , 0 , 1) .
???? ???? D B ? (1 , 1 , 0) , B C ? ( ? 1 , 1 , 0)



所以 B C ? D B ? 0 , B C ? D B . 又由 P D ? 平面 A B C D ,可得 P D ? B C , 所以 B C ? 平面 P B D . ⑶平面 P B D 的法向量为 B C ? ( ? 1 , 1 , 0 ) , P C ? (0 , 2 , ? 1) , P Q ? ? P C , ? ? (0 , 1) , 所以 Q (0 , 2 ? , 1 ? ? ) , 设平面 Q B D 的法向量为 n ? ( a , b , c ) ,
? ???? 由 n ? DB ? 0

???? ????

????

????

????

????

z
?

P Q F E y C B

? ???? , n ? DQ ? 0

?a ? b ? 0 ,得 ? ? 2 ? b ? (1 ? ? ) c ? 0


D A x

所以 n

?

2? ? ? ? ? ?1, 1, ? ? ?1? ?



? ???? n ? BC 所以 co s 4 5 ? ? ? ???? ? | n || B C |

2 2? 2?( 2?

? )
2

2 2



? ?1

注意到 ? ? (0 , 1) ,得 ? (西城·理·题 18) 18. (本小题满分 14 分) 椭圆 C :
x a
2 2

?

2 ?1.

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的离心率为

3 2

,长轴端点与短轴端点间的距离为

5



⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设过点 D (0 , 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点,O 为坐标原点,若 ? O E F 为直角三角形,求直 线 l 的斜率. 【解析】 ⑴由已知
c a ? 3 2 , a ?b ?5
2 2



又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4 , b 2 ? 1 , 所以椭圆 C 的方程为
x
2

? y ?1;
2

4

⑵根据题意,过点 D (0 , 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,
? x2 2 ? y ?1 ? 联立 ? 4 ,消去 ? y ? kx ? 4 ?
2 2

y 得 (1 ?

4 k ) x ? 32 kx ? 60 ? 0
2 2



? ? (32 k ) ? 240(1 ? 4 k ) ? 64 k ? 240 ,
2

令?

?0

,解得 k 2 ?

15 4


y1 ) , ( x 2 , y 2 )

设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , ⅰ)当 ? E O F 为直角时, 则 x1
? x2 ? ? 32k 1 ? 4k
2



, x1 x 2 ?

60 1 ? 4k
2


?0

因为 ? E O F 为直角,所以 O E ? O F

??? ???? ?

,即 x1 x 2

? y1 y 2 ? 0



所以 (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 4 k ( x1 ? x 2 ) ? 1 6 ? 0 , 所以
1 5 ? (1 ? k )
2

1 ? 4k

2

?

32k

2 2

1 ? 4k

?4?0

,解得 k

? ? 19



ⅱ)当 ? O E F 或 ? O F E 为直角时,不妨设 ? O E F 为直角, 此时, k O E
? k ? 1 ,所以

y1 x1

?

y1 ? 4 x1

? ? 1 ,即 x1 ? 4 y1 ? y1
2

2

……①



x1 4

2

? y 1 ? 1 …………②
2

将①代入②,消去 x 1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0 , 解得 y1 将 y1
? ? 2 3 2 3

或 y1

? ?2

(舍去) ,
? ? 2 3 5 , 所以 k ?

代入①,得 x1

y1 ? 4 x1

? ? 5



经检验,所求 k 值均符合题意,综上,k 的值为 ? (西城·理·题 19) 19. (本小题满分 14 分) 已知 函数
a? x ? f ( x) ? ?1 ? ? e x? ?

19

和?

5



,其中 a ? 0 .

⑴求函数 f ( x ) 的零点; ⑵讨论 y ? f ( x ) 在区间 ( ?? , 0) 上的单调性; ⑶在区间 ? ? ? ,
? ? ? a? ? 2?

上, f ( x ) 是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.

【解析】 ⑴令 f ( x ) ? 0 ,得 x ? ? a ,所以函数 f ( x ) 的零点为 ? a . ⑵函数 f ( x ) 在区域 ( ?? , 0) 上有意义,
f ?( x ) ? x ? ax ? a
2

x

2

?e

x



令 f ? ( x ) ? 0 得 x1 因为 a
?0

?

?a ?

a ? 4a
2

2
? 0 , x2 ? 0

, x2 ?

?a ?

a ? 4a
2



2

,所以 x1



当 x 在定义域上变化时, f ?( x ) 的变化情况如下:
x
( ? ? , x1 ) ( x1 , 0 )
?

f ?( x )

?

f (x)

?

?

所以在区间 ? ? ? ,
? ?
? ?a ? ? ?
? ?

?

?a ?

2 a ? 4a ? ? ? 2 ?

上 f ( x ) 是增函数,

在区间 ?

a ? 4a
2

2
a? ? 2?

? , 0 ? 上 f (x) ? ?

是减函数.

⑶在区间 ? ? ? ,

?

上 f ( x ) 存在最小值

? a? f ?? ? ? 2?



证明:由⑴知 ? a 是函数 f ( x ) 的零点,
?a ? a ? 4a
2

因为 ? a 所以 x1 由

? x1 ? ? a ?

?

?a ?

a ? 4a
2

? 0,

2

2

? ?a ? 0

. 知,当 x ? ? a 时, f ( x ) ? 0 .
a 2 ? 0

a? x ? f ( x) ? ?1 ? ? e x? ?

又函数在 ( x1 ,

0 ) 上是减函数,且 x1 ? ? a ? ?


f (? a 2 )? 0.

所以函数在区间 ? x1 ,
? ? ?

?

?

a? ? 2?

上的最小值为

? a? f ?? ? ? 2?

,且

所以函数在区间 ? ? ? ,
? ? a? f ?? ? ? ?e 2 ? 2? a

?

a? ? 2?

上的最小值为

? a? f ?? ? ? 2?



计算得



(西城·理·题 20) 20. (本小题满分 13 分) 对于各项均为整数的数列 ? a n ? ,如果 a i
? i (i

=1,2,3,…)为完全平方数,则称数列 ? a n ? 具有“ P

性质”. 不论数列 ? a n ? 是否 具有“ P 性质”,如果存在与 ? a n ? 不是同一数列的 ? b n ? ,且 ? b n ? 同时满足下面两个 条件: b1 , ①
b 2 , b3 , ... , b n

是 a1 ,

a 2 , a 3 , ... , a n

的一个排列; ②数列 ? b n ? 具有“ P 性质”, 则称数列 ? a n ?

具有“变换 P 性质”. ⑴设数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n
? n 3 ( n ? 1)
2

,证明数列 ? a n ? 具有“ P 性质”;

⑵试判断数列 1,2,3,4,5 和数列 1,2,3,…,11 是否具有“变换 P 性质”,具有此性质的数列 请写出相应的数列 ? b n ? ,不具此性质的说明理由; ⑶对于有限项数列 A :1,2,3,…, n ,某人已经验证当 n ? [1 2 , m 2 ]( m ≥ 5) 时,数列 A 具有“变换
P

性质”,试证明:当” n ? [ m 2 ? 1 , ( m ? 1) 2 ] 时,数 列 A 也具有“变换 P 性质”.
2

【解析】 ⑴当 n ≥ 又 a1
? 0

时, a n

? S n ? S n ?1 ?

n 3

( n ? 1) ?
2

n ?1 3

[( n ? 1) ? 1] ? n ? n
2 2



,所以 a n ? n 2 ? n ( n ? N * ) .

所以 a i ? i ? i 2 ( i ? 1 , 2 , 3 , ? ) 是完全平方数,数列 { a n } 具有“ P 性质”; ⑵数列 1,2,3,4,5 具有“变换 P 性质”, 数列 { b n } 为 3,2,1,5,4, 数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”, 因为 11,4 都只有与 5 的和才能构成完全平方数, 所以数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”; ⑶设 n ? m 2 ? j , 1 ≤ j ≤ 2 m ? 1 , 注意到 ( m ? 2) 2 ? ( m 2 ? j ) ? 4 m ? 4 ? j , 令 h ? 4m ? 4 ? j ? 1 , 由于 1 ≤ j ≤ 2 m ? 1 , m ≥ 5 , 所以 h ? 4 m ? 4 ? j ? 1 ≥ 2 m ? 2 ≥ 12 , 又 m 2 ? h ? m 2 ? 4m ? 4 ? j ? 1 ≥ m 2 ? 4m ? 2 , m 2 ? 4m ? 2 ? (m ? 2)2 ? 6 ? 0 , 所以 h ? m 2 ,即 h ? [1 2 , m 2 ] , 因为当 n ? [1 2 , m 2 ]( m ≥ 5) 时,数列 { a n } 具有“变换 P 性质”, 所以 1,2,…, 4 m ? 4 ? j ? 1 可以排列成 a1 , 使得 a i
? i (i ? 1 , 2 , ? , h )

a2 , a3 , ? , a h



都是平方数.

另外, 4 m ? 4 ? j , 4 m ? 4 ? j ? 1 , ? , m 2 ? j 可以按相反顺序排列, 即排列为 m 2 ? j , ? , 4 m ? 4 ? j ? 1 , 4 m ? 4 ? j , 使得 (4 m
? 4 ? j ) ? ( m ? j ) ? ( m ? 2)
2 2

, (4 m

? 4 ? j ? 1) ? ( m ? j ? 1) ? ( m ? 2) , ? ,
2 2

所以 1,2, 4 m ? 4 ? j ? 1 , 4 m ? 4 ? j , ? , m 2 ? 1 ? j , m 2 ? j 可以排列成
a1 , a 2 , a 3 , ? a h , m ? j , ? , 4 m ? 4 ? j
2



满足 a i

? i ( i ? 1 , 2 , ? , m ? j ) 都是平方数.
2

即当 n ? [ m 2 ? 1 , ( m ? 1) 2 ] 时,数列 A 也具有“变换 P 性质”.


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