2.1.2指数函数的图象及性质(一)_图文

2.1.2

把一张厚度为1毫米的纸对折42次后, 这张纸的厚度将达到多少?

答案:约439.8万公里。(地球 到月球的距离为38.4万公里)

那么,假设厚度为1,对折x次后呢?



中指数x是自变量,

底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一 个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
指数函数的定义: 函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中x是自变量,
x

定义域是R。

探究:为什么要规定 a
探讨:若不满足上述条件

? 0且a ? 1
y?a
x

会怎么样?

(1)若 a ? 0 x 则当x > 0时, a
x

?0

当x≤0时, a 无意义. (2)若 a ? 0 则对于x的某些数值,可使 x a 无意义. 如 (?2) x ,这时对于

x ? 1 , x ? 1 ……等等, 2 4
在实数范围内函数值不存在. (3)若

a ? 1 则对于任何 x ? R x a ? 1 是一个常量,没有研究的必要性

练习:

1.下列函数是指数函数的是 ( D ) A. Y=(-3)x B. Y=3x+1 C. Y=-3x+1 D. Y=3-x 2.函数 y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指数函数,求 a的值.
解:由指数函数 的定义有

a2 - 3a + 3=1
a>0 解得

a =1或a = 2 a>0 a≠1

a≠1
∴a=2

作出函数图像: 1。列表 2。描点 3。连线

y

y= 2- x

4 3 2 1

y=2x

-3 -2 -1 0

1

2 3

x

指数函数: y=ax (a >0且a=1)
a>1 0<a<1
y=ax
(a>1)

图 象 性 质
y=1

y

y=ax
(0<a<1)

y
(0,1)

y=1 x

(0,1)

0

x

0

定义域: R 值 域: (0,+ ∞ ) 必过 点: 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . (
在 R 上是 增函数 在 R 上是 减函数

指数函数: y=ax (a >0且a=1)
a>1 0<a<1
y=ax
(a>1)

图 象
y=1

y

y=ax
(0<a<1)

y
(0,1)

y=1 x

(0,1)

0 当 x < 0 时,0<y < 1; 定

x

0

当 义 域 : R x < 0 时,y > 1; 性 当 x > 0 时,y域 : ( 0 , + ∞ 当)x > 0 时,0<y < 1 。 值 > 1. 必过 点: 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . ( 质 减函数 增函数

在 R 上是

在 R 上是

y

y=3x
y=2x

1 0 1 x

试分析上述图像中,哪一条是 哪一条是

的图像 的图像

y=(1/3)x
y= (1/2)x
y

1

0

x

1 x 试分析上述图像中,哪一条是 y ? ( 2 ) 的图像 1 x 的图像 哪一条是 y?( ) 3

例2:已知指数函数 ? a ( a ? 0, 且a ? 1) f(x)
x

的图像经过(,?),求f (0), f (1), f ( ?3) 3

指数函数图象与性质的应用: 例3 、比较下列各题中两个值的大小: ①

1.7

2.5

, 1.7

3

解① :利用指数函数单调性 1.7 2.5 , 3 1.7 的底数是1.7,它们可以看成函数 y ? 1.7 当x=2.5和3时的函数值;
y
x

y ? 1.7 x 因为1.7>1,所以函数
在R上是增函数,而2.5<3, 所以,
1

1.7

2.5

? 1.7

3
x
0

指数函数图象与性质的应用: ②

0.8

?0.1

, 0.8

?0.2 ?0.1

解① :利用指数函数单调性 0.8 当x=-0.1和-0.2时的函数值;

0.8 ,

?0.2

y ? 0.8x 的底数是0.8,它们可以看成函数
因为0<0.8<1,所以函数 y ? 1.7
在R上是增函数,而-0.2<-0.1, 所以,
x

y

0.8

?0.1

? 0.8

?0.2
1 x

0

指数函数图象与性质的应用: ③ ④

3

?0.9

? ?

.

0.8

?0.9

( )

1 0.5 6

.

( )

1 0.5 2

y

y ? 0.8

x

y ?3
1

x

x ? ?0.9

x

0



1.7 ,0.9
1.7
0.3
3.2 3

0.3

3 .1

解⑤ :根据指数函数的性质,得

?1
2.8 2.6 2.4 2.2 2



0.9

3.1

?1
3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2

1.8

1.8

f?x? = 0.9x

f?x? = 1.7x

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.4

从而有

1 .7 > 0 . 9

0.3

3 .1


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