2013-2014学年江苏省扬州中学高一下学期期中数学试卷

2013-2014 学年江苏省扬州中学高一下学期期中数学试卷
考试时间:120 分钟 姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 3.保持卷面清洁

1.不等式

2? x >0 的解集为__________. x?3

2.若 x>0、y>0,且 x+y=1,则 x·y 的最大值为_____. 3.sin15?·sin30?·sin75?的值等于___________. 4.在等差数列{an}中,a3+a6+3a7=20,则 2a7―a8 的值为_________. 5.函数 y= 3 sinx+cosx,x∈[―
2

? ? , ]的值域是_________. 6 6
? 1 1? , ? ,则 a-b=________. ? 2 3?

6.若不等式 ax +bx+2>0 的解集为 ? ?

7.函数 y=sin ?

?? ? ?? ? ? x ? cos ? ? x ? 的最小正周期为________. 2 6 ? ? ? ?
2

8 .在正项等比数列 {an} 中, a1 和 a19 为方程 x - 10x + 16 = 0 的两根,则 a8·a12 = __________. 9.在△ABC 中,已知 A=45°,AB= 2 ,BC=2,则 C=___________. 10.设等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若 a1>0,S4=S8,则当 Sn 取最大值时,n 的值 为____________. 11.已知等差数列{an}的前 20 项的和为 100,那么 a7·a14 的最大值为_________. 2 12. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=(a+1)n +a, 某三角形三边之比为 a2∶a3∶a4, 则该三角形的最大角为________. 13.若 f (x)=x+

a 在 x≥3 时有最小值 4,则 a=_________. x ?1 b c + 的 c b

14.已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 BC 边上的高为 a,则 取值范围为______. 15.已知 a、b、c 分别是△ABC 三个内角 A、B、C 的对边. (1)若△ABC 面积为

3 ,c=2,A=60?,求 a,b 的值; 2

(2)若 acosA=bcosB,试判断△ABC 的形状,证明你的结论. 16.设函数 f (x)=cos(2x+

? )+ 3 sin2x+2a 3
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(1)求函数 f (x)的单调递增区间

(2)当 0≤x≤

? 时,f (x)的最小值为 0,求 a 的值. 4

17.已知圆的内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6, CD=DA=4, (1)求角 A 的大小; (2)求四边形 ABCD 的面积. 18.已知{an}是公比为 q 的等比数列,且 am、am+2、am+1 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,试判断 Sm、Sm+2、Sm+1 是否成等差数列?并说明理由. 19. 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广 场,其总面积为 3000 平方米,其中场地四周(阴影部分)为通道,通道宽度均为 2 米, 中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同), 塑胶运 动场地占地面积为 S 平方米. (1)分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式(写出函数定义域) ; (2)怎样设计能使 S 取得最大值,最大值为多少?

20. 已知数列{an}是等差数列, 数列{bn}是等比数列, 且对任意的 n∈N*, 都有 a1b1+a2b2 n+3 +a3b3+···+anbn=n·2 . (1)若{bn}的首项为 4,公比为 2,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=8. ①求数列{an}与{bn}的通项公式; ②试探究:数列{bn}中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它 r(r∈N,r≥2) 项的和?若存在,请求出该项;若不存在,请说明理由.

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参考答案 1. ? ?3, 2? 【解析】 试题分析:

2? x ? 0 ? ? 2 ? x ?? x ? 3? ? 0 ? ? x ? 2 ?? x ? 3? ? 0 ? ?3 ? x ? 2 ,所以原不 x?3

等式的解集为 ? ?3, 2? . 考点:分式不等式. 2.

1 4

【解析】 试 题 分 析 : x ? 0, y ? 0 , 则 x ? y ? 2 xy 即 1 ? 2 xy , 所 以 xy ? ?

?1? 1 ? ? .当且仅当 4 ?2?

2

x? y? 1 8

1 1 时取 " ? " .所以 xy 的最大值为 . 2 4

考点:基本不等式. 3.

【解析】 试









1 1 1 1 sin15? ? sin 30? ? sin 75? ? sin15? ? sin ? 90? ? 15? ? ? sin15? cos15? ? sin 30? ? . 2 2 4 8
考点:1 诱导公式;2 二倍角公式. 4.4 【解析】 试题分析: 设公差 d ,则 a3 ? a6 ? 3a7 ? (a6 ? 3d ) ? a6 ? 3? a6 ? d ? ? 5a6 ? 20 ,所以 a6 ? 4 .

2a7 ? a8 ? 2 ? a6 ? d ? ? ? a6 ? 2d ? ? a6 ? 4 .
考点:等差数列的通项公式. 5. ?0, 3 ?

?

?
? 3 ? 1 ?? ? sin x ? cos x ? 2sin ? x ? ? , 因 为 ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?
, 则

【解析】 试 题 分 析 : y ? 3 sin x ? cos x ? 2 ?

? ? ?? x ? ?? , ? ? 6 6?

, 所 以

x?

?

? ?? ? ?0, ? 6 ? 3?

?? ? 3? ? sin ? x ? ? ? ?0, ? 6? ? 2 ? ?

, 所 以

?? ? 2 s? x i? n ??? 6? ? ?

? ,即 y ? ?0, 3 ? ? 0 , ? 3 ?.

答案第 1 页,总 8 页

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考点:1 三角函数的化简;2 三角函数的值域. 6. ?10 【解析】 试题分析:由题意可知 ?

1 1 1 1 b , 是方程 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的根且 a ? 0 .所以 ? ? ? ? 且 2 3 2 3 a

1 1 2 ? ? ? ,解得 a ? ?12, b ? ?2 .所以 a ? b ? ?12 ? ? ?2? ? ?10 . 2 3 a
考点:一元二次不等式. 7. ? 【解析】 试 题







? ? 3 1 ?? ? ?? ? ? ? y ? sin ? ? x ? cos ? ? x ? ? cos x ? cos ? cos x ? sin ? sin x ? ? cos2 x ? sin x ? cos x 6 6 2 ?2 ? ?6 ? ? ? 2
? 3 cos 2 x ? 1 1 1?1 3 3 1 ?? 3 ? .所 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? 2 2 4 2?2 2 2 3? 4 ? ? 4
2? ?? . 2

?

以最小正周期为 T ?

考点:1 三角函数的化简;2 三角函数的周期. 8.16 【解析】 试题分析: 由韦达定理可得 a1 ? a19 ? 16 . a8 ? a12 ? a1q 列的性质可得 a8 ? a12 ? a1 ? a19 ) 考点:等比数列的通项. 9. 30
?

?

7

?? a q

19 7

? a1 ? a19 ? 16 .(或根据等比数

【解析】 试题分析:由正弦定理

BC AB AB ? s i nA ? 可 得 s i nC ? ? sin A sin C BC

? 2? s i n 4 5 1 ? ,因为 2 2

B C ? A B,所以 A ? C ,则 C ? 30? .
考点:正弦定理. 10.6 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 数 列

?an ?
a7 ? ?











,





S4 ?

S8 ?

S8 ?

S4 ?

a5 ?

a 26??

a8 0?

为? ,所 a1 ? 0? a6 ? . 因 a0 a6以 ? a7 7

?

答案第 2 页,总 8 页

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a6 ? 0, a7 ? 0 .即数列 ?an ? 的前 6 项为正,从第 7 项起为负,所以前 6 项和最大.即 Sn 取最大
值时 n ? 6 . 考点:等差数列的性质. 11.25 【解析】 试题分析: S20 ? 知

20 ? a1 ? a20 ? ? 10 ? a1 ? a20 ? ? 100 ,则 a1 ? a20 ? 10 .由等差数列的性质可 2

a7 ? a14 ? a1 ? a20 ? 10
2

.



为 所 12

(a7 ?
a7 a ?
2? 3

a1 ) ?

2 4

a ?

2

2

7

a

?

a ?以

4

a2 ?

(a7 ? a )2 102 1 4 ? ? 25 。当且仅当 a7 ? a14 ? 5 时取得 " ? " . 1 4 4 4

考点:1 等差数列的前 n 项和;2 等差数列的性质;3 重要不等式. 12.

【解析】 试题分析:设公差为 d . Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d 1 ? ? d ? n2 ? ? a1 ? d ? n ? ? a ?1? n2 ? a ,所以 2 2 2 ? ?

?d ? 2 ? a ?1 ?d ? 2 ? d ? ? ? a1 ? ? 0 ? ? a1 ? 1 . 所 以 通 项 公 式 an ? a1 ? ? n ?1? d ? 1? 2 ? n ?1? ? 2n ?1 . 则 2 ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?

a2 ? 3, a3 ? 5, a4 ? 7 . 则设此三角形三边分别为 3x,5x,7 x, ? x ? 0? , 最大的角为 A , 所以

? 3x ? ? ? 5x? ? ? 7 x? cos A ?
2 2

2

2 ? (3x )? (5 x)

2? 1 . ? ? .因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? 3 2

考点:1 等差数列的前 n 项和;2 等差数列的通项公式;3 余弦定理. 13.

9 4

【解析】 试 题 分 析 : 当

a?0

时 , 因 为

x?3

, 则

x ?1 ? 2

, 所 以

f

? ?x?

a ? x x ?1

?

? 1? x ?

a ?1 x ?1

? 2? ?

? x1

a ? x ?1

1?

a ? 且1 ? 仅 当? ,2 当

答案第 3 页,总 8 页

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x ?1 ?

a 9 5 即 x ? 1 ? a 时取 " ? " . 令 2 a ? 1 ? 4 , 解得 a ? . 此时 x ? 1 ? a ? . 满 x ?1 4 2 f

足题意. 当 a?0 时 , 函 数

? ?x?

a ?x 在 x ?1

?3, ?? ?

上 是 增 函 数 , 所 以

f ? x ?m i? nf ? 3? ? ? 3
综上可得 a ?

a ? ,解得 4 a ? 2 ? 0 舍. 3 ?1

9 . 4

考点:1 基本不等式;2 函数的单调性. 14. ? 2, 5 ?

?

?

【解析】 试题分析:因为 a, b, c 均为正 , 所以

b c b c b c ? ? 2 ? ? 2 , 当且仅当 ? 即 b ? c 时取 c b c b c b

"?".
由正弦定理可得

a b a ? ,又因为 BC 边上的高为 a ,则 sin B ? ,代入上式可得 sin A sin B c

a sin B a2 b2 ? c 2 ? a 2 b c a2 b c sin A sin A ? ? ? ? ? ? ? ? .又因为 cos A ? ,所 b bc 2bc 2c 2b 2bc 2c 2b 2


? 5 ? b c 2 5 ? ? 2 cos A ? sin A ? 5 ? sin A ? cos A ? ? ? ? 5 sin ? x ? ? ? c b 5 ? 5 ?
,1则

,

? 2 5 5? sin ? ? , cos ? ? x ?? ? ? ? ? . 因 为 s i ?n ? 5 5 ? ? ?
2? b c ? ? 5. c b

b c ? ? 5 . 综 上 可 得 c b

考点:1 基本不等式;2 三角函数求最值. 15. (1) a ? 3 , b ? 1 (2) ?ABC 为直角三角形或等腰三角形 【解析】

1 2 2 2 bc sin A 求 b , 再用余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 2 求 a .(2)用正弦定理将 a cos A ? b cos B 转化为 sin A cos A ? sin B cos B ,根据正弦的二
试题分析: (1) 先由三角形面积 S ? 倍角公式可得 sin 2 A ? sin 2 B .可得 A, B 间的关系.从而确定三角形形状.

解: (1)由已知得

3 1 ? bc sin A ? b sin 60o ,∴ b ? 1 . 2 2

2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 ,∴ a ? 3 .

答案第 4 页,总 8 页

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(2)由正弦定理得 2R sin A ? a, 2R sin B ? b , ∴ 2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B ,即 sin 2 A ? sin 2 B ,由已知 A, B 为三角形内角, ∴ A ? B ? 90? 或 A ? B .∴ ?ABC 为直角三角形或等腰三角形. 考点:1 余弦定理;2 正弦定理. 16. (1) ? ? 【解析】 试题分析: ( 1 )先用余弦的两角和公式将 cos ? 2 x ?

1 ? ? ? ? ? k? , ? k? ? , ? k ? Z ? (2) a ? ? 4 6 ? 3 ?

? ?

??

? 展开 , 再用化一公式将其化简为 3?

f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ? b 的形式,根据 sin x 的单调性求函数 f ? x ? 的单调性.(2)由 x 的
范围求整体角 ? x ? ? 的范围,根据正弦函数图像求其最值.根据最小值为 0,求 a 的值. 解: (1) f ? x ? ? 由?

1 3 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2a ? sin ? 2 x ? ? ? 2a . 2 2 6? ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , ? k ? Z ? ,得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , ? k ? Z ? .

所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ? (2)由 0 ? x ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? , ? k ? Z ? . 6 ? 3 ?
?
?

2? 1 ? ,故 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 4 6 6 3 2 6 1 1 由 f ? x ? 的最小值为 0,得 ? 2 a ? 0 .解得 a ? ? . 2 4

?

,得

?

? 2x ?

考点:1 三角函数的化简;2 三角函数的单调性;3 三角函数的最值. 17. (1) A ? 120 (2) 8 3
o

【解析】
o 试题分析:因为四边形 ABCD 为圆的内接四边形,所以对角互补即 A ? C ? 180 ,根据诱导

公式可知 cos A ? ? cos C , sin A ? sin C .(1)在 ?ABD 和 ?BCD 中用余弦定理分别表示 出 BD .根据两式相等及可得 cos A 的值,从而可得角 A .(2)用分割法将四边形分割为两个 三角形.用三角形面积公式求面积
o 解:∵ A ? C ? 180 ∴ cos A ? ? cos C . sin A ? sin C

2 2 2 (1)由余弦定理得: BD ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ? cos A ? 20 ? 16cos A ,

BD2 ? CB2 ? CD2 ? 2CB ? CD cos C ? 52 ? 48cos C ,

答案第 5 页,总 8 页

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∴ 20 ? 16 cos A ? 52 ? 48cos C ,因为 cos A ? ? cos C 解之: cos A ? ? 又 0o ? A ? 180o , ∴ A ? 120o . (2)四边形 ABCD 的面积 S ? S ?ABD ? S ?BCD ?

1 , 2

1 1 AB ? AD ? sin A ? BC ? CD ? sin C ,因为 2 2

sin A ? sin C ,所以 S ? 16sin A ? 16sin120o ? 8 3 .
考点:1 四点共圆问题;2 余弦定理;3 三角形面积.

q?? 18. (1) 当 q ? 1 时, q ? 1 或 ? (2) Sm , Sm?2 , Sm?1 不成等差数列;
成等差数列 【解析】

1 2

1 时, Sm , Sm?2 , Sm?1 2

试题分析: (1) 因为 am , am? 2 , am?1 成等差,可得 2am?2 ? am?1 ? am ,再将 am , am? 2 , am?1 均用首 项 a1 (或 am )和公比 q 表示,可得关于 q 的一元二次方程,从而可得 q . (2) 用等比数列的前 n 项和公式分别表示出 Sm , Sm?2 , Sm?1 . 注意讨论公比 q 是否为 1. 若 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 说明

Sm , Sm?2 , Sm?1 成等差数列,否则不成等差数列.
解: (1)依题意得 2am?2 ? am?1 ? am ∴ 2a1qm?1 ? a1qm ? a1qm?1 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 0, q ? 0 ,∴ 2q ? q ? 1,解得 q ? 1 或 ?
2

1 . 2

(2)若 q ? 1 , Sm ? Sm?1 ? ma1 ? ? m ? 1? a1 ? ? 2m ? 1? a1 , Sm?2 ? ? m ? 2? a1 ∵ a1 ? 0 ,∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1

1 若 q ? ? , Sm? 2 ? 2

1 1 ? (? )m? 2 1 ? ?2 1 2 ? a1 ? ? ? ? (? ) m ? ? a1 1 2 ? ?3 6 1 ? (? ) 2 1 1 1 ? (? ) m 1 ? (? ) m?1 ?4 2 ? 1 1 ?? 2 a ? 2 Sm ? Sm?1 ? a1 ? ? ? ? ?(? ) m ? (? ) m?1 ? ? a1 1 1 1 2 ?? ?3 3 ? 2 1 ? (? ) 1 ? (? ) 2 2

1 ? ?4 1 ? ? ? ? (? )m ? ? a1 2 ? ?3 3
∴ 2Sm?2 ? Sm ? Sm?1 故当 q ? 1 时, Sm , Sm?2 , Sm?1 不成等差数列; q ? ?

1 时, Sm , Sm?2 , Sm?1 成等差数列. 2

答案第 6 页,总 8 页

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考点:1 等比数列的通项公式;3 等比数列的前 n 项和;3 等差中项. 19. (1) S ? 3030 ? ? 6 x ?

? ?

15000 ? ? , 6 ? x ? 500 (2)矩形场地 x ? 50m, y ? 60m 时,运动 x ?

场的面积最大,最大面积是 2430m2 【解析】 试题分析: (1) 塑胶运动场地占地面积 S 为中间三个矩形面积的和.其中大矩形的宽为 a 米, 长为 ? x ? 2 ? 米.两个小矩形的长为 a 米,宽为

x?6 y ?6 米.其中 y ? 2a ? 6 ,则 a ? .根据 2 2

矩形的面积公式可用 x 表示 y 和 S 的函数关系式.根据各边长为正及 xy ? 3000 可得 x 的范 围.(2)由(1)知 S ? 3030 ? ? 6 x ?

? ?

15000 ? ? , 6 ? x ? 500 ,用基本不等式求其最值. x ?
3000 , x

解: (1)由已知 xy ? 3000, 2a ? 6 ? y ∴ x ? 6, y ? 6 ,故 y ? 由 y ? 6 ,解得 x ? 500 ,∴ y ?

3000 ? 6 ? x ? 500 ? . x

S ? ? x ? 4? a ? ? x ? 6? a ? ? 2x ?10? a ,
根据 2a ? 6 ? y ,得 a ? ∴ S ? ? 2 x ? 10 ? ?

y 1500 ?3 ? ?3, 2 x

15000 ? ? 1500 ? ? ? 3 ? ? 3030 ? ? 6 x ? ? , 6 ? x ? 500 . x ? ? x ? ?

(2) S ? 3030 ? ? 6 x ? 当且仅当 6 x ?

? ?

15000 ? 15000 ? 3030 ? 2 ? 300 ? 2430 , ? ? 3030 ? 2 6 x ? x ? x

15000 ,即 x ? 50 时等号成立,此时 y ? 60 . x
2

所以,矩形场地 x ? 50m, y ? 60m 时,运动场的面积最大,最大面积是 2430m . 考点:1 函数解析式;2 基本不等式. 20. (1) Sn ? 2n?2 ? n2 ? 3n ? 4 (2)① an ? 4n ? 4 , bn ? 2n ;②这样的项不存在 【解析】 试题分析:

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?? anbn 表 示 数 列 的 ?anbn ? 的 前 n 项 和 . 根 据 公 式

? S1 , (n ? 1) 可求其通项公式 anbn .(1)根据等比数列的通项公式可得 bn ,从而 an ? ? ? Sn ? Sn?1 , (n ? 2)
可得 an .即可求 Sn .(2)①设出 an 根据 anbn 可得 bn ,根据等比数列的定义及 a1 ? 8 可得 an

答案第 7 页,总 8 页

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和 bn . ② 假 设 数 列

?bn ?

中 第 k 项 可 以 表 示 为 该 数 列 中 其 它 r 项

bt1 , bt2 ,L btr ?t1 ? t2 ? L ? tr ? 的和.根据等比数列的前 n 项和公式,及对数的运算及其单调
性推理论证. 解: (1)∵ a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?? anbn ? n ? 2n?3 ∴ a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?? an?1bn?1 ? (n ?1) ? 2n?2 两式相减得: anbn ? n ? 2
n?3

? ? n ?1? ? 2n?2 ? ? n ?1? ? 2n?2 , ? n ? 2?

n?2 * 而当 n ? 1 时, a1b1 ? 24 适合上式,∴ an bn ? ? n ? 1? ? 2 , n ? N

?

?

∵ ?bn ? 是首项为 4、公比为 2 的等比数列 ∴ bn ? 2n?1 ∴

an ? 2n ? 2


n



?an ? bn ?
? n2 ? 3n ? 4





n





n ? 4 ? 2n ? 2 ? 4 ?1 ? 2 Sn ? ? 2 1? 2
(2)①设 an ? kn ? b ,则 bn 设 ?bn ? 的公比为 q ,则
2

? ?2

n?2

n ? 1? ? 2n? 2 ? ? kn ? b

n ? 2n ?1 ,∴ bn ?1 ? ? n ? 2? kn ? k ? b

2 ? n ? 1? ? ? kn ? k ? b ? bn ? ? q 对任意的 n ? 2 恒成立, bn?1 ? kn ? b ? n

即 k ? 2 ? q ? n ? b ? 2 ? q ? n ? 2 ?b ? k ? ? 0 对任意的 n ? 2 恒成立,

?k ? 2 ? q ? ? 0 ? ?k ? b ∴ ?b ? 2 ? q ? ? 0 ∴ ? ?q ? 2 ? ?2 ? b ? k ? ? 0
bn ? 2n

又∵ a1 ? 8 ,∴ k ? b ? 8 ∴ k ? b ? 4 ,∴ an ? 4n ? 4 ,

②假设数列 ?bn ? 中第 k 项可以表示为该数列中其它 r 项 bt1 , bt2 ,L btr ?t1 ? t2 ? L ? tr ? 的和,
k 即 bk ? bt1 ? bt2 ???? ? btr ,从而 2 ? 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 r ,易知 k ? tr ? 1 t t t
tr ?1 tr ?1 2(1 ? 2tr ) 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? 2 ?2? 2 1? 2

k

t1

t2

tr

1

2

3

tr

∴ k ? tr ? 1 ,此与 k ? tr ? 1 矛盾,从而这样的项不存在. 考点:1 等差数列的通项公式,前 n 项和;2 等比数列的通项公式,前 n 项和.
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