人教A版选修2-1第三章第四课时导学案3.1.3空间向量的数量积

§3.1.3.空间向量的数量积 学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法, 并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些 简单问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P90~ P92,找出疑惑之处) 复习 1:什么是平面向量 a 与 b 的数量积? 复习 2:在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中,求 AB ? BC . 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的数量积定义和性质 问题:在几何中,夹角与长度是两个最基本的几何量,能否用向量的知识解决空间两条直 线的夹角和空间线段的长度问题? 新知: 1) 两个向量的夹角的定义:已知两非零向量 a , b ,在空间 则 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 . 试试: ⑴ 范围: ?? a, b ?? OB ? b , 一点 O ,作 OA ?a , ? a, b? =0 时, a 与 b ; ? a, b? =π 时, a 与 b ⑵ ? a, b ??? b , a ? 成立吗? ⑶ ? a, b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 2) 向量的数量积: 已知向量 a , b ,则 . 叫做 a , b 的数量积,记作 a ? b ,即 a ? b ? . 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思: ⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量? ⑵ 0?a ? (选 0 还是 0 ) ⑶ 你能说出 a ? b 的几何意义吗? 3) 空间向量数量积的性质: (1)设单位向量 e ,则 a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? . (3) a ? a ? = . 4) 空间向量数量积运算律: (1) (? a) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) . (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律 反思: ⑴ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 吗?举例说明. ⑵ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 吗?举例说明. ⑶ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 吗?为什么? ※ 典型例题 例 1 用向量方法证明:在平面上的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那 么它也和这条斜线垂直. 变式 1:用向量方法证明:已知: m, n 是平面 ? 内的两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交 点为 B ,且 l ? m, l ? n . 求证: l ? ? . 例 2 如图, 在空间四边形 ABCD 中,AB ? 2 ,BC ? 3 ,BD ? 2 3 ,CD ? 3 ,?ABD ? 30 , ?ABC ? 60 ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值 王新敞 奎屯 新疆 变式:如图,在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,若 AB= 2 BB 1 , 则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为( ) A. 60° C. 105° B. 90° D. 75° 例 3 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD-A ' 1 ' B 1 C 1 ' D 1 中, A B? 4 , A D ? 3 , AA ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA = ?DAA =60°, 求 AC ' 的长. ※ 动手试试 练 1. 已知向量 a,b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? 3 ,则 a ? b ? ____. 练 2. 已知 a ? 2 2 , b ? 2 , a ? b ? ? 2 , 则 a 与b 的夹角大小为_____. 2 三、总结提升 ※ 学习小结 1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. ※ 知识拓展 向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题,求两条直线的夹角和线段长度的新方法. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ). ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 正确的个数为( A. 0 个 ) B. 1 个 2 2 C. 2 个 D. 3 个 ) ? 2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则下面向量中与 2e2 ? e1 垂直的是( 3 A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1 D. e2 3.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边为 a , b, c ,且 a ? 3, b ? 1 , ?C ? 30? ,则 BC ? CA = 4. 已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,当 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角时, ? 的取值 范围是 5. 已知向量 . a,b 满足 a ? 4 , b ? 2 , a ? b ? 3 ,则 a ? b ? ____ 课后作业: 1. 已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC . D A B C 2. 已知线段 AB、BD 在平面 ? 内,BD⊥ AB, 线段 AC ? ? ,如果 AB=a,BD=b,AC=c,求 C、D 间 的距离.

相关文档

人教版高中数学选修2-1导学案第3章第1节空间向量的数量积
人教版选修2-1 3.1.3 空间向量的数量积运算导学案
人教版高中数学选修2-1导学案:第三章第一节空间向量的数量积
电脑版