【状元之路】(新课标 通用版)2015届高考数学一轮复习 5-3三角函数的图像与性质检测试题(2)文

【状元之路】 (新课标,通用版)2015 届高考数学一轮复习 5-3 三角 函数的图像与性质检测试题(2)文
一、选择题 1.函数 y= 1 cosx- 的定义域为( 2 )

? π π? A.?- , ? ? 3 3?
π π? ? B.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 3 3? ? π π? ? C.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 3 3? ? D.R 1 1 π π 解析:∵cosx- ≥0,得 cosx≥ ,∴2kπ - ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 2 2 3 3 答案:C

? π? 2.已知函数 f(x)=sin?x- ?(x∈R),下面结论错误的是( 2? ?
A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

)

? π? B.函数 f(x)在区间?0, ?上是增函数 2? ?
C.函数 f(x)的图像关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数

? π? ? π? 解析:∵y=sin?x- ?=-cosx,∴T=2π ,在?0, ?上是增函数,图像关于 y 轴对称,为 2? 2? ? ?
偶函数. 答案:D π? ? 3.已知函数 f(x)=sin?2ω x- ?(ω >0)的最小正周期为 π ,则函数 f(x)的图像的一条对称 3? ? 轴方程是( π A.x= 12 5π C.x= 12 ) π B. x= 6 π D. x= 3

π? 2π π π ? 解析: 由 T=π = 得 ω =1, 所以 f(x)=sin?2x- ?, 则 f(x)的对称轴为 2x- = +kπ (k 3? 2ω 3 2 ? 5π kπ 5π ∈Z),解得 x= + (k∈Z),所以 x= 为 f(x)的一条对称轴. 12 2 12
1

答案:C 4.函数 y=2sin? A.2- 3 C.-1

?π x-π ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( 3? ? 6 ?
B. 0 D.-1- 3

)

π π x π 7π 3 ?π x π ? 解析:当 0≤x≤9 时,- ≤ - ≤ ,- ≤sin? - ?≤1,所以函数的最大值为 2, 3? 3 6 3 6 2 ? 6 最小值为- 3,其和为 2- 3. 答案:A

?π ? 5.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ )(|φ |<π ),若 f? ?=-2,则 f(x)的一个单调递减区间是 ?8?
( )

? π 3π ? A.?- , ? 8 ? ? 8 ? 3π π ? C.?- , ? 8? ? 8

B.? D.?

?π ,9π ? ? 8 ? ?8 ?π ,5π ? ? 8 ? ?8 ?=-2sin?π +φ ?=-2, ?π ? 所以 sin? +φ ? ? ?4 ? ? ? ? ?4 ?

?π ? ?π ? ? π 解析: 由 f? ?=-2, 得 f? ?=-2sin?2× +φ 8 ?8? ?8? ?

π π π π 3π =1.因为|φ |<π ,所以 φ = .由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,解得 kπ - ≤x≤kπ 4 2 4 2 8 π + ,k∈Z. 8 答案:C

? π π? 6.已知函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在区间?- , ?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ? 3 4?
( ) 2 A. 3 3 B. 2 C.2 D.3

π ? ? π π? ? π ? π π? 解析:∵x∈?- , ?,则 ω x∈?- ω , ω ?,要使函数 f(x)在?- , ?上取得最小值 4 ? ? 3 4? ? 3 ? 3 4? π π π 3π 3 3 -2,则- ω ≤- 或 ω ≥ ,得 ω ≥ ,故 ω 的最小值为 . 3 2 4 2 2 2 答案:B π ? ?π ? ? 7.已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?单调递减,则 ω 的取值范围是( 4? ?2 ? ? )

?1 5? A.? , ? ?2 4?

?1 3? B.? , ? ?2 4?

2

? 1? C.?0, ? ? 2?

D.(0,2]

π? π ? 解析:函数 f(x)=sin?ω x+ ?的图像可看作是由函数 f(x)=sin x 的图像先向左平移 个单 4 4 ? ? 1 ? π? 位得 f(x)=sin?x+ ?的图像, 再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的 倍, 纵坐标不变得到的, 4? ω ?

? π? ?π 5π ? 所以要使函数 f(x)=sin?ω x+π ?在?π ,π ?上是 而函数 f(x)=sin?x+ ?的减区间是? , ?, ? ? ? ? 4? 4 ? 4? ?2 ? ?4 ? ?
π 1 π ? ? 4 ×ω ≤ 2 , 减函数,需满足? 5π 1 ? ? 4 ×ω ≥π , 答案:A 8.已知 f(x)=cos( 3x+φ )- 3sin( 3x+φ )为偶函数,则 φ 可以取的一个值为( π A. 6 π B. 3 π C.- 6 π D.- 3 π π ) 1 5 解得 ≤ω ≤ . 2 4

解 析 : 由 已 知 得

? ? ?? ? ? ?? f(x) = 2cos ? 3x+?φ + ?? , 则 2cos ? 3x+?φ + ?? = 3 ?? 3 ?? ? ? ? ?

π ?? π? π? ? ? ? ? 2cos?- 3x+?φ + ??恒成立, 展开得 sin 3xsin?φ + ?=0 恒成立. 故 sin?φ + ?=0 恒成立, 3 ?? 3? 3? ? ? ? ? 只有选项 D 符合. 答案:D 9.函数 y=sinx?

?cosx?(0<x<π )的图像大致是( ? ?sinx?

)

A

B

3

C

D π cosx,0<x< , 2

? ? π cosx 解析:y=sinx| |=?0,x= , 2 sinx π ? ?-cosx, 2 <x<π .
答案:B π? π? ? ? 10.设函数 f(x)=sin?2x+ ?+cos?2x+ ?,则( 4 4? ? ? ? )

π ? π? A.y=f(x)在?0, ?单调递增,其图像关于直线 x= 对称 2? 4 ? π ? π? B.y=f(x)在?0, ?单调递增,其图像关于直线 x= 对称 2? 2 ? π ? π? C.y=f(x)在?0, ?单调递减,其图像关于直线 x= 对称 2? 4 ? π ? π? D.y=f(x)在?0, ?单调递减,其图像关于直线 x= 对称 2? 2 ? π? π? ? ? 解析:∵y=sin?2x+ ?+cos?2x+ ? 4? 4? ? ? = π? ? 2sin?2x+ ? 2? ?

= 2cos2x,

kπ ? π? ∴y= 2cos2x 在?0, ?单调递减,对称轴为 2x=kπ ,即 x= (k∈Z). 2? 2 ?
答案:D 二、填空题 11 . 如 果 函 数 y = 3cos(2x + φ ) 的 图 像 关 于 点 ? __________.

?4π ,0? 中 心 对 称 , 那 么 |φ | 的 最 小 值 为 ? ? 3 ?

4

4π π 13π 解析:由题意知,2× +φ =kπ + ,k∈Z,解得 φ =kπ - ,k∈Z.当 k=2 时,|φ |min 3 2 6 π = . 6 π 答案: 6 π? ?π 12.设函数 y=sin? x+ ?,若对任意 x∈R,存在 x1,x2 使 f(x1)≤ 3? ?2

f(x)≤f(x2)恒成立,则|x1-x2|的最小值是__________.
解析:由 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,可得 f(x1)为最小值,f(x2)为最大值,|x1-x2|的最小值 为半个周期. 答案:2 π? ? 13.已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0)的单调递增区间为 3? ? π 7π ? ?kπ -5π ,kπ +π ?(k∈Z), ? 单调递减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z), 则 ω 的值为________. ? ? 12 12? 12 12 ? ? ? 7π ? ? 5π ? ? 解析:由?kπ + ?-?kπ - ?=π 得函数 f(x)的周期为 π ,则 ω =2. 12 ? ? 12 ? ? 答案:2

? π π? 14.设函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ ∈?- , ?)的最小正周期为 π ,且其图像关于直线 ? 2 2?
π ?π ? ?π ? ? π? x= 对称, 则在下面四个结论: ①图像关于点? ,0?对称; ②图像关于点? ,0?对称; ③在?0, ? 12

?4

?

?3

?

?

6?

? π ? 上是增函数;④在?- ,0?上是增函数中,所有正确结论的编号为__________. ? 6 ?
解析:∵T=π ,∴ω =2. π π π 又 2× +φ =kπ + ,∴φ =kπ + . 12 2 3 π? π ? π π? ? ∵φ ∈?- , ?,∴φ = ,∴y=sin?2x+ ?. 3? 3 ? 2 2? ? 由图像及性质可知②④正确. 答案:②④ 三、解答题 1 2 15.[2013·北京]已知函数 f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; (2)若 α ∈?

?π ,π ?,且 f(α )= 2,求 α 的值. ? 2 ?2 ?
5

1 2 解析:(1)∵f(x)=(2cos x-1)sin2x+ cos4x 2 1 =cos2xsin2x+ cos4x 2 1 = (sin4x+cos4x) 2 = π? 2 ? sin?4x+ ?, 4? 2 ?

π 2 ∴f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)∵f(α )= ∵α ∈? π? 2 ? ,∴sin?4α + ?=1. 4? 2 ?

?π ,π ?,∴4α +π ∈?9π ,17π ?. ? ? 4 ? 4 ? 4 ?2 ? ?

π 5π 9π ∴4α + = ,故 α = . 4 2 16 π 2 9π 答案:(1)最小正周期为 ,最大值为 ;(2)α = . 2 2 16 16.[2013·山东]设函数 f(x)= 3 2 - 3sin ω x-sinω xcosω x(ω >0),且 y=f(x)图像的一 2

π 个对称中心到最近的对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; 3π ? ? (2)求 f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值. 2 ? ? 解析:(1)f(x)= = = 3 2 - 3sin ω x-sinω xcosω x 2

3 1-cos2ω x 1 - 3· - sin2ω x 2 2 2 3 1 cos2ω x- sin2ω x 2 2

π? ? =-sin?2ω x- ?. 3? ? π 2π π ∵图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ,又 ω >0,∴ =4× . 4 2ω 4 ∴ω =1. π? ? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ?

6

3π 5π π 8π 当 π ≤x≤ 时, ≤2x- ≤ . 2 3 3 3 ∴- π? 3 ? ≤sin?2x- ?≤1, 3? 2 ? 3 . 2

∴-1≤f(x)≤

3π ? 3 ? ∴f(x)在区间?π , ?上的最大值和最小值分别为 ,-1. 2 ? 2 ? 答案:(1)1;(2)最大值 3 ,最小值-1. 2 创新试题 教师备选 教学积累 资源共享 教师用书独具 1.若动直线 x=a 与函数 f(x)=sinx 和 g(x)=cosx 的图像分别交于 M、N 两点,则|MN|的最大 值为( A.1 C. 3 ) B. 2 D. 2

? π? 解析:|MN|=|sina-cosa|=| 2sin?a- ?|, 4? ?
∴|MN|max= 2. 答案:B π? 2? 2.[2014·大同月考]函数 y=2cos ?x- ?-1 是( 4? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 π? π? 2π ? 2? 解析:y=2cos ?x- ?-1=cos?2x- ?=sin2x 为奇函数,T= =π . 4? 2? 2 ? ? 答案:A π? π ? 3.函数 y=2sin(3x+φ )?|φ |< ?的一条对称轴为 x= ,则 φ =__________. 2? 12 ? π π π 解析:由 y=sinx 的对称轴为 x=kπ + (k∈Z),即 3× +φ =kπ + (k∈Z),得 φ =kπ 2 12 2 )

7

π + (k∈Z), 4 π π 又|φ |< ,∴k=0,故 φ = . 2 4 π 答案: 4 4.函数 y=cos(3x+φ )的图像关于原点成中心对称图形.则 φ =__________. 解析:由题意,得 y=cos(3x+φ )是奇函数, π ∴φ =kπ + ,k∈Z. 2 π 答案:kπ + ,k∈Z 2 5.设函数 f(x)= π? 2 ? 2 cos?2x+ ?+sin x. 4? 2 ?

(1)求 f(x)的最小正周期; π 1 ? π? (2)设函数 g(x)对任意 x∈R, 有 g(x+ )=g(x), 且当 x∈?0, ?时, g(x)= -f(x), 求 g(x) 2? 2 2 ? 在区间[-π ,0]上的解析式. 解析:f(x)= π? 2 1 1 1 1 1 ? 2 cos?2x+ ?+sin x= cos2x- sin2x+ (1-cos2x)= - sin2x. 4 2 2 2 2 2 2 ? ?

2π (1)函数 f(x)的最小正周期 T= =π ; 2 1 1 ? π? (2)x∈?0, ?时,g(x)= -f(x)= sin2x, 2? 2 2 ? π ? π? ? π ? 当 x∈?- ,0?时,x+ ∈?0, ?, 2? 2 ? ? 2 ?

g(x)=g?x+ ?= sin2?x+ ?=- sin2x, 2 2

? ?

π?

?

1 2

? ?

π?

?

1 2

π? 1 1 ? ? π? 当 x∈?-π ,- ?时,x+π ∈?0, ?,g(x)=g(x+π )= sin2(x+π )= sin2x, 2? 2? 2 2 ? ? 综上所述:函数 g(x)在[-π ,0]上的解析式为 1 ? π ? - sin2x?- ≤x≤0?. ? ? 2 ? 2 ? g(x)=? π? 1 ? sin2x?-π ≤x<- ?. ? 2? ?2 ? 6.(2014·西南大学附中月考)已知 a=(5 3cosx,cosx),b= (sinx,2cosx),函数 f(x)=a·b+|b| . (1)求函数 f(x)的最小正周期;
8
2

(2)求函数 f(x)的单调减区间; π π (3)当 ≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 6 2 解析: f(x) = a·b + |b| = 5 3cosx·sinx + cosx·2cosx + sin x + 4cos x = 5 3sinxcosx + π? 7 5 3 1-cos2x 5 3 5 7 ? 2 2 sin x+6cos x= sin2x+ +3(1+cos2x)= sin2x+ cos2x+ =5sin?2x+ ?+ . 6? 2 2 2 2 2 2 ? 2π (1)f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π π 3π (2)由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + 得 2 6 2
2 2 2

kπ + ≤x≤kπ +

π 6

2π ,k∈Z. 3

π 2π ? ? ∴f(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 6 3 ? ? π π π π 7π (3)∵ ≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ , 6 2 2 6 6 π? 1 ? ∴- ≤sin?2x+ ?≤1. 6? 2 ? 17 ? 17? ∴1≤f(x)≤ ,即 f(x)的值域为?1, ?. 2? 2 ?

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